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• 12.5.1 構成則に用いる応力とは，ひずみとは?
• 12.5.2 超弾性と亜弾性
• 12.5.3 こんな弾性体って?
  • 12.5.3.1 応力とひずみで定義された場合
  • 12.5.3.2 応力速度とひずみ速度で定義された場合
  
  
• 12.5.4 弾塑性体の代表例--速度非依存塑性
  • 12.5.4.1 Prandtl-Reussモデル
  • 12.5.4.2 非関連流れ則
  • 12.5.4.3 非共軸モデル
  • 12.5.4.4 すべり系を有する単結晶モデル

12.5 有限変形の枠組で構成則を表すには

12.5.1 構成則に用いる応力とは，ひずみとは?

さて，応力とは物体内部の抵抗力であり，これとひずみの尺度との 関係でその材料の抵抗則つまり構成則を記述することにしてあった。 応力は単なる数学的力学的な概念であり，ひずみの尺度は 純粋に幾何学的な量である。 各応力テンソル間には明確な定義の違いとお互いの関係があるから， 構成則にはどの応力テンソルを用いても構わない。 しかし，各応力テンソル間の関係には変形の非線形成分が含まれていることには 注意は必要だ。 一方，ひずみの尺度もいくつか定義できる。 ただ最終的には単純な材料試験，例えば引張り試験で構成則を 定める以外には手が無い。 というのも，我々の身の回りにある材料のほとんどが大きな非均質な かたまり（バルク材）であり， 必ずしもその微視的なメカニズムをモデル化して材料の巨視的な抵抗則を 表すことが困難だからである。

最も単純明快なのは，引張り試験の外力あるいはそれを試験前の 試験片の断面積で割ったいわゆる公称応力$R$と， 伸びひずみ例えば対数ひずみ$\ln\Lambda_1$との関係から， 構成則を定める方法だろう。 対数ひずみを用いる理由は，客観性を持つ変形速度$\fat{d}$が実質的に 対数ひずみ速度であることもあるが， 伸びの2倍と縮みの半分とが正負の同じ値で表すことが できることに直感的な素直さがあるからである。 つまり基本的な「線形弾性体」を，ある応力 $\fat{\sigmaup}$と あるひずみ尺度 $\fat{\epsilonup}$を，定数係数の4階のテンソル$\fat{C}$で 関係付け

$$\fat{\sigmaup}=\fat{C} \fat{:} \fat{\epsilonup}$$

と定義した上で引張り試験結果をシミュレーションし， その $R=R(\ln\Lambda_1)$の関係が できるだけ$\ln\Lambda_1$に対して線形である材料が「線形弾性体」であると 捉えることが，直感的にはよさそうに思うがどうだろう。 つまり，荷重と変形の試験結果の関係において， 応力とひずみの定義に存在する変形の 非線形性が原因で現れるような見かけ上の非線形性は，できるだけ 小さい方がいいだろう。 そもそも材料非線形性は， 定数係数の4階のテンソル $\fat{C}\sub{Oi}$や $\fat{C}\sub{Ei}$ ($i=1$, 2, $\cdots$)を用いて構成則にひずみの高次項を含むこと

$$\fat{\sigmaup}=\fat{C}\sub{O1} \fat{:} \fat{\epsilonup}+ ... ...lonup}^2+ \fat{C}\sub{O2} \fat{:} \fat{\epsilonup}^3+\cdots$$

や，材料パラメータ $\widetilde{\fat{C}}$の応力やひずみへの依存性

$$\fat{\sigmaup}=\widetilde{\fat{C}} \left(\fat{\sigmaup},\fa... ...貳姪�｢�� =\fat{f}\left(\fat{\sigmaup},\fat{\epsilonup}\right)$$

によって表現されなければならないと考えるべきだろう。 ここに $\fat{\epsilonup}^m$は式(12.22)のように

$$\fat{\epsilonup}^m= \sum_{k=1}^3 \epsilonup_{(k)}^m \fat{n... ..._{k=1}^3 \epsilonup_{(k)} \fat{n}^{(k)} \otimes \fat{n}^{(k)}$$

で定義された2階のテンソルである。 $\epsilonup_{(k)}$は 主ひずみであり，$\fat{n}^{(k)}$は主方向である。 鋼やゴムは $\fat{C}\sub{Ei}$はあまり必要ではないだろうが， コンクリートや地盤材料には $\fat{C}\sub{Ei}$は必須になりそうだ。

簡単な例を示しておこう。以下，簡単のために応力の主方向への1軸 抵抗状態において，その同じ軸を主方向とするひずみが生じているとする。 例えばCauchy応力$\sigma_1$と伸びひずみ$E^E_1$（を空間座標に 変換したもの）との間に，定数係数$C$を介して

$$\sigma_1(\fat{x})=C E^E_1(\fat{x})=C \left(\Lambda_1-1\right) \eqno{(*)}$$

のような関係があると定義したすると，それは

$$R=\Lambda_{2} \Lambda_{3} \sigma_1 = C \Lambda_{2} \Lambda_{3} \left(\Lambda_1-1\right)$$

という荷重変形関係を再現したことに相当する。$\Lambda_{2}$と$\Lambda_{3}$は 他の2主軸方向のストレッチである。 つまり，上の式($*$)が材料の抵抗則だとすると，$R$と$\ln\Lambda_1$との間は 非線形関係にならざるを得ないことを示している。 もう一つの例として第2 Piola-Kirchhoff応力と対数ひずみかGreenのひずみの 間に同様に

$$S_1(\fat{X})=C E^L_1(\fat{X})=C \ln\left\{\Lambda_I(\fat{X... ...(\fat{X})=C \left\{\dfrac12\left(\Lambda_1^2-1\right)\right\}$$

という線形関係があると定義したとすると，それはそれぞれ

$$R=\Lambda_1 S_1=C \Lambda_1 \ln\left(\Lambda_1\right), \q... ... \Lambda_1 \left\{\dfrac12\left(\Lambda_1^2-1\right)\right\}$$

という荷重変形関係を再現しようとしたことに相当する。 これも$R$と$\ln\Lambda_1$との間は非線形関係にならざるを得ない。 このような非線形性は，材料特性ではなく，応力とひずみの定義に 内在する幾何学的非線形特性から生じたものであることには十分注意が必要だ。

図 12.13: 各応力とひずみに線形関係が成り立つ場合の$\pm 10$%までの 変形と抵抗挙動

算出法については後述するが，$\pm 10$% 程度のひずみの範囲で そのようないくつかのモデルによる荷重変形関係を 示したのが図-12.13である。 材料特性を表す構成則だから，どちらかと言えば， 物体に糊付けされた座標で記述するLagrange手法の分類に含まれる尺度を 用いた方がよさそうだ。 しかし，図-12.13(a)はまず圧縮性材料の場合だが， そのLagrange的な例の一つである 第2 Piola-Kirchhoff応力とGreenひずみを用いた実線は， やや下に凸の荷重変形関係になっている。 つまり引張りでは硬化し，圧縮では軟化する。 これは例えば身近な材料である「消しゴム」の挙動とはずれているように感じる。 ゴムは非圧縮性材料なので，図-12.13(b)には その例も示した。 やはり第2 Piola-Kirchhoff応力とGreenひずみを用いた実線は 線形からのずれも比較的大きく感じられる。 つまり，応力とひずみの定義に含まれる非線形性の影響がこのくらいあるということを 認識した上で，構成則を構築する必要があるのである。 ただ，社会基盤構造で対象としている材料のほとんんどは 数%の変形レベルで壊れてしまうので， そのような材料に対しては，選択した尺度の違いが構成則に及ぼす影響は この程度しか無いと考えてもらってもいいかもしれない。

図 12.14: 各応力速度と変形速度に線形関係が成り立つ場合の$\pm 10$%までの 変形と抵抗挙動

あるいは，塑性の概念を念頭に置くとupdated Lagrange的定式化で 構成則を表現し， ある適切に定義された応力 $\fat{\sigmaup}(\fat{x})$の 客観性を持つ速度を用いて，客観性を持つ変形速度との間の関係で 与えるのが望ましいだろう。 例えば弾性なら

$$\objective{\fat{\sigmaup}}(\fat{x})= \fat{C}(\fat{x}) \fat... ...)= \fat{C}(\fat{\sigmaup},\fat{x}) \fat{:} \fat{d}(\fat{x})$$

のように定義し，あるいは弾塑性なら

$$\objective{\fat{\sigmaup}}(\fat{x})= \fat{C}(\fat{\sigmaup}... ...} \left\{\fat{d}(\fat{x})-\fat{d}\super{p}(\fat{x})\right\}$$

のような関係式で定義するのが望ましいと考えられる。$\fat{C}$は 最も単純には定数だ。 客観性を持つ応力速度 $\objective{\fat{\sigmaup}}$の選択については， いくつかの例をあとで示すが， そのうちのいくつかを用いて定数係数の弾性の場合を，$\pm 10$% 程度の ひずみの範囲で図-12.14に示した。 この場合は逆に，updated-Lagrange的なTruesdellの応力速度を用いたモデルの 線形性が顕著であるのは興味深い。 もっと大きな変形に対するシミュレーションは後述する。

12.5.2 超弾性と亜弾性

式(3.47)を一般化し， 次のようなひずみエネルギ密度関数 $\phi$を持つ弾性を超弾性 と呼ぶ。

$$\dot{\phi}=\dfrac{1}{\rho} \sigma_{ij} d_{ji} =\dfrac{1}{\rho_0} S_{IJ} \dot{E}_{JI}.$$ (12.133)

ここに，$\rho_0$, $\rho$は変形前後の密度であり， 右辺は応力の仕事率$\dot{w}$で^12.22ある。 これが成立する場合には

$$S_{IJ}=\D{\left(\rho_0 \phi\right)}{E_{IJ}}$$ (12.134)

という構成関係が成立する。 ただ， $\left(\rho_0 \phi\right)$が定数係数で$\fat{E}$の2次形式になるとは 考え難いが，それは前節および次節の定数係数$\fat{C}$を 持つ $\fat{S}=\fat{C} \fat{E}$の例に一致^12.23する。 もちろん，応力依存の任意の非線形パラメータを含む密度関数の形を 仮定した上で，実験による同定をすれば済むことではあるが， そこにはあまり物理は感じられない。 また前節のような荷重変形関係の非線形性を有していることも注意しないといけない。 つまり，物理的な意味があまり明確ではないGreenのひずみの不変量のような ものを用いて，さらにその「ポテンシャル」（第1著者には 理解不能）に相当する非線形の ひずみエネルギ密度関数$\phi(\fat{E})$を定義するのは， 天才^12.24以外には困難な仕事だろう。 やはり物理的な観察と考察から直接応力とひずみ，あるいは応力速度とひずみ速度を 結び付けるようなアプローチで構成モデルを定義する方がわかり易い。 ただし，節-E.2で定式化したBernoulli-Euler梁の 場合は，第2 Piola-Kirchhoff応力とGreenひずみのそれぞれの物理成分を用いて

$$\rho_0 \phi\equiv \dfrac12 E e^2, \quad e\equiv \sqrt{1+2 E_{11}}-1=\epsilon+z \kappa$$

というエネルギ密度関数が定義でき，応力ひずみ関係は

$$\sigma\equiv \sqrt{g} S_{11}=\D{\left(\rho_0 \phi\right)}{e}=E e \quad\to\quad \phi(e)\equiv \dfrac{1}{2\rho_0} E e^2$$

といった物理的な量同士で表すことができる。 これによって非常に美しい理論が構築されている。

ところで，ひずみエネルギ密度関数の代表例としては， よくゴムのような材料のモデルとして用いられる 非圧縮性材料のMooney-Rivlinモデルの

$$\phi=\dfrac{\mu}{2}\left(I_1-3\right)+\overline{\mu}\left(I_2-3\right)$$ (12.135)

という関数がある。ここに，$\mu$と $\overline{\mu}$が 材料パラメータであり，$I_1$, $I_2$は適切に選んだ変形の 第1, 2不変量である。例えば$\fat{U}$の主値を用いれば

$$\matrx{U}=\left(\begin{array}{ccc} \Lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 ... ...left(U_{KI} U_{KJ}\right)\left(U_{LI} U_{LJ}\right) \right\}$$ (12.136)

である。あとで一つ，nominal応力を用いた場合の例を示す。

これに対して亜弾性 と呼ばれる材料は

$$\jaumann{\sigma}_{ij}=C_{ijkl} d_{kl}$$ (12.137)

という同次式を満足するものとして定義される。$C_{ijkl}$は 一般には応力の関数である。 等方線形亜弾性体の場合，応力に依存しないものは 式(3.50b)の$\fat{C}$で表される。 注意しないといけないのは，この弾性構成モデルは保存的ではなくエネルギ散逸が避けられないということ^12.25である。 一般には

$$C_{ijkl} = c_0 \delta_{ij}\delta_{kl}+c_1 \delta_{ik}\delta_{jl} +c_2 \si... ...elta_{jl}+\delta_{ik}\sigma_{jl}\right) +c_5 \sigma_{im}\sigma_{mj}\delta_{kl}$$

$$\mbox{}+c_6 \sigma_{ij}\sigma_{kl} +c_7 \delta_{ij}\sigma_{km}\... ...eft(\sigma_{im}\sigma_{mk}\delta_{jl}+ \sigma_{jm}\sigma_{ml}\delta_{ik}\right)$$ (12.138)

$$\mbox{}\qquad +c_9 \sigma_{im}\sigma_{mj}\sigma_{kl} +c_{10} \s... ...ij}\sigma_{km}\sigma_{ml} +c_{11} \sigma_{im}\sigma_{mj}\sigma_{kn}\sigma_{nl}$$

のように与えられ$c_0$から$c_{11}$は応力の不変量の関数で 与えられる係数[119]である。

12.5.3 こんな弾性体って?

12.5.3.1 応力とひずみで定義された場合

適切な応力テンソル $\fat{\sigmaup}$と それに対応するひずみテンソル $\fat{\epsilonup}$を ある直交異方性を有する材料定数で結びつけた

$$\fat{\sigmaup}=\fat{C} \fat{:} \fat{\epsilonup}$$ (12.139)

のようなモデルをいくつか考えてみよう。 もちろん，構成則を考えるときは，材料試験結果を見ながら上の式のような モデルを構築することになるのだが，ここでは，もし上式のような 構成則が成立する材料があったときに，有限変形の枠組の中で どのような引張り試験結果に相当するのか示そう。 まず応力 $\fat{\sigmaup}$の候補としては，第2 Piola-Kirchhoff応力$\fat{S}$とKirchhoff応力$\fat{\tau}^K$にCauchy応力$\fat{\sigma}$，さらに少し変ではあるがnominal応力$\fat{S}^N$を使ってみる。 対応するひずみ $\fat{\epsilonup}$には，Greenのひずみ$\fat{E}$と 伸びひずみ$\fat{E}^E$に対数ひずみ$\fat{E}^L$を考えてみよう。 応力の仕事率の式(12.103)にある組み合わせ

$$% latex2html id marker 10322\dot{w}= \dfrac{1}{\rho} \sig... ...^E_{JI} \eqno{(\ref{eq:12-energyratevsstresses}) \mbox{再掲}}$$

からの示唆では，第2 Piola-Kirchhoff応力はGreenのひずみと， またKirchhoff応力とCauchy応力は対数ひずみと関係付けることを 示唆しているので，ここでは

$$\begin{eqnarray*} \fat{\sigmaup}&\coloneqq&\fat{S}\quad\mbox{に対しては}\quad \... ...靴討��\quad \fat{\epsilonup}\coloneqq\fat{E}^E, \quad \fat{E}^L \end{eqnarray*}$$

という組み合わせ^12.26で調べておこう。 最も単純なモデルは，前節のひずみエネルギ密度関数$\phi$が ひずみ尺度の2次形式になっているものだろうから， 簡単のために円断面棒の引張り試験を対象として直交3軸方向の 一様応力・伸び状態をイメージして

$$\left\{\begin{array}{c} \sigmaup_{11} \ \sigmaup_{22} \ \... ...{11} \ \epsilonup_{22} \ \epsilonup_{33} \end{array}\right\}$$ (12.140)

とする。そして，$x_1$方向のロードセルの読みを試験片の 変形前の断面積で割った公称応力が$R$で， 同じ方向の伸びが $\Lambda_1=\Lambda_L$だったとしよう。 応力と変形の状態は， 上式(12.140)で $\sigmaup_{22}=0$, $\sigmaup_{33}=0$, $\epsilonup_{22}=\epsilonup_{33}$, $\Lambda_2=\Lambda_3=\Lambda_T$とすればいい。したがって

$$\epsilonup_{22}=-\dfrac{C_1}{C_0+C_1} \epsilonup_{11}, \qua... ...{C_0\left(C_0+C_1\right) -2 C_1^2}{C_0+C_1} \epsilonup_{11}$$

となる。各応力は，応力の物理的な意味を検討したときに 用いた例題の式(12.105) (12.106) (12.107) (12.108)で，物体の回転$\alpha$を零にすればいいから

$$\sigmaup_{11}\coloneqq S_{11}=\dfrac{R}{\Lambda_L}, \quad \s... ...u^K_{11}=R \Lambda_L, \quad \sigmaup_{11}\coloneqq S^N_{11}=R$$

となる。ひずみは，Greenのひずみを用いる場合は式(12.23)から

$$\epsilonup_{11}\coloneqq \dfrac12\left(\Lambda_L^2-1\right),... ... \Lambda_T^2=1-\dfrac{C_1}{C_0+C_1}\left(\Lambda_L^2-1\right)$$

となり，伸びひずみの場合は式(12.44)から

$$\epsilonup_{11}\coloneqq \Lambda_L-1, \quad \Lambda_T=1-\dfrac{C_1}{C_0+C_1}\left(\Lambda_L-1\right)$$

対数ひずみの場合も式(12.44)から

$$\epsilonup_{11}\coloneqq \ln(\Lambda_L), \quad \ln\Lambda_T=-\dfrac{C_1}{C_0+C_1} \ln\Lambda_L$$

となる。

図 12.15: いくつかの応力で線形関係が成り立つ弾性体の場合

これを用いて荷重と変形の関係を図-12.15に 示したが，伸びひずみを 横軸にとって表示したのが図-12.15(a)で， 対数ひずみを横軸にとったのが図-12.15(b)である。 ただし，簡単のため $\slfrac{C_1}{C_0}=\slfrac12$（微小 変形理論におけるHookeの法則のPoisson比が$\nu=\slfrac13$に 相当する）とした。 一番おかしなnominal応力を用いた線形関係の材料モデルの場合には， 荷重と変形の関係は線形になるが，そんな材料は多分存在しないだろう。 それ以外は，応力ひずみ関係は定数係数で関係付けられているにも かかわらず，それぞれの応力やひずみの有限変形理論における定義の 違いによって，荷重と変形の関係は非線形になっている。 そして第2 Piola-Kirchhoff応力を 用いた場合と，Cauchy応力およびKirchhoff応力の場合とは， 大変形時に逆の応答特性を示している。つまり， 第2 Piola-Kirchhoff応力とGreenのひずみを用いた線形関係の材料は， 引張るにつれて剛になり，圧縮すればするほど柔らかくなることを 示している。引張り側の応答はゴムのような非圧縮材料で経験するのと 同じようには感ずるが， 圧縮するほど柔らかくなる材料はあまり触ったことがないように感じる。 これは，St.Venant-Kirchhoff材料 と呼ばれ[12]， 実用的ではないとされている。 もちろん，微小変形の範囲では，どんな構成則を用いても区別は付かない。

図 12.16: Cauchy応力とKirchhoff応力で線形関係が成り立つ弾性体の場合

図-12.16には，Cauchy応力とKirchhoff応力で 線形関係を定義した弾性体の場合の結果だけを取り出した。 この場合が，上述の第2 Piola-Kirchhoff応力を用いた材料とは逆に， 引張るほど柔らかくなり，圧縮すると剛になっている。 圧縮側は，やはりゴム等で経験する挙動と同じように感じる。 いずれにしても，このような定数係数を用いた線形関係で与えられる材料は， 実際身の回りには無いような気がするが，どうだろう。 ま，もっとも，弾性ひずみだけが$\pm100$%に達することは無いだろうから， それほど気にする必要もないかもしれない。

では，ゴムのような非圧縮性材料の例を試算してみよう。 このような場合には $C_1=\slfrac{-C_0}{2}$として

$$\left\{\begin{array}{c} \sigmaup_{L} \ \sigmaup_{T} \ \si... ...t\} + \left\{\begin{array}{c} p \ p \ p \end{array}\right\}$$

とすればいい。実はこれは，微小変形理論における 式(3.40) (3.41)のHookeの法則を

$$\sigma'_{ij}=2G \epsilon'_{ij}, \quad \sigma_{kk}= K \eps... ...o\quad \sigma'_{ij}=2G \epsilon'_{ij}, \quad \sigma_{kk}= 3p$$

とみなしたモデルに相当するが，これはPoisson比が$\nu=\slfrac12$ではなく， もう一方の極限の$\nu=-1$ ( $\slfrac{C_1}{C_0}= \slfrac{\lambda}{(\lambda+2\mu)}= \slfrac{-1}{2}$)に相当する。 微小変位理論の範囲では，非圧縮性は $\epsilonup_{kk}=0$で近似されて いるため，$C_1=0$の材料で非圧縮性材料をモデル化できるが， 有限変位理論の範囲の非圧縮性は $\Lambda_1\Lambda_2\Lambda_3=1$なので， 上式のような関係にしてみた。 ただし，ここに$p$は平均応力（負の静水圧）である。 また非圧縮性で，ここでは1軸状態なので

$$\Lambda_2=\Lambda_3=\Lambda_T=\dfrac{1}{\sqrt{\Lambda_L}}, \quad \sigmaup_T=0$$

の条件から，$p$を$\Lambda_L$で表すことができる。 $\fat{\sigmaup} \coloneqq \fat{S}$の場合には $\fat{\epsilonup} \coloneqq\fat{E}$を選択し， 非圧縮性の場合にはCauchy応力とKirchhoff応力は 一致するので， $\fat{\sigmaup}\coloneqq \fat{\sigma}$に 対しては $\fat{\epsilonup}\coloneqq \fat{E}^E$か$\fat{E}^L$を選択した。 結果的に

$$\begin{eqnarray*} \fat{\sigmaup}&\coloneqq& \fat{S} \mbox{で} \fat{\epsilonup... ...quad \dfrac{R}{C_0}=\dfrac94 \dfrac{\ln(\Lambda_L)}{\Lambda_L} \end{eqnarray*}$$

となる。これを図示したのが図-12.17である。 全体的な特性の違いは圧縮性材料の場合と同様だが， 荷重のレベルが3倍くらいにまで上がっている。

図 12.17: 非圧縮性弾性体の場合

非圧縮性材料の場合は， ひずみエネルギ密度関数の例として挙げた 式(12.135)のMooney-Rivlinモデル が有名である。これを一般化し

$$\phi=\dfrac{C_0}{2}\left(I_1-3\right)+C_1\left(I_2-3\right)$$ (12.141)

としよう。そして$I_1$, $I_2$は変形テンソル$\fat{C}$の第1, 2不変量とし，

$$I_1=F_{kJ} F_{kJ}, \quad I_2=\dfrac12\left\{ I^2 -\left(F_{... ...\\ 0 & 0 & \dfrac{1}{\Lambda_1\Lambda_2} \end{array}\right)$$ (12.142)

としておこう。そしてnominal応力が

$$S^N_{Ij}=\D{\phi}{x_{j,I}}-p X_{I,j} =C_0 x_{j,I}-2C_1\lef... ...k,J}\right) x_{j,I}- x_{j,K}x_{l,K}x_{l,I}\right\}+p X_{I,j}$$ (12.143)

と関係付けることができるとする。ここに$p$は負の静水圧である。 非圧縮性材料なので，これからCauchy応力は

$$\sigma_{ij}=x_{i,K} S^N_{Kj} =C_0 x_{j,I}x_{i,I}-2C_1\left... ...}x_{i,I}- x_{j,K}x_{l,K}x_{l,I}x_{i,I}\right\}+p \delta_{ij}$$ (12.144)

と表すことができる。 そこで上の例と同じように1軸載荷を想定して$p$を消去して$\Lambda_2$, $\Lambda_3$を求めると，最終的に

$$\sigma_{11}=R \Lambda_L = \left(C_0+2C_1\dfrac{1}{\Lambda_... ...right), \quad \Lambda_2=\Lambda_3=\dfrac{1}{\sqrt{\Lambda_L}}$$

という関係を得る。 上の例と$\Lambda_L=1$における勾配（剛性）を一致させようとすると

$$\dfrac{C_1}{C_0}=-\dfrac18$$

と負になってしまうが，その結果を同じ図-12.17に 並べた。図中`MR$-$'とあるのがその結果である。$C_1$が負に なっているが，これは微小変形理論においてPoisson比を $\nu=\slfrac{-1}{7}$とした 場合に相当し，その材料は安定ではあるものの複合材料のような特殊な材料特性に 相当してしまうので，数値をそのまま正，つまり

$$\dfrac{C_1}{C_0}=\dfrac18$$

としたものを参考として`MR$+$'として示しておいた。 この場合も，第2 Piola-Kirchhoff応力を用いた場合の挙動だけが他と 少し違っている。Mooney-Rivlinモデルはかなり非線形性の 強い構成則に見えるが，荷重変形関係はほぼ線形になるのは興味深い。 なお，Cauchy応力を用いた場合の結果だけとの比較を 別途図-12.18に示しておいた。

図 12.18: Cauchy応力でモデル化した非圧縮性弾性体の場合

12.5.3.2 応力速度とひずみ速度で定義された場合

また，ある適切に定義された客観性を持つ 速度応力 $\objective{\fat{\sigmaup}}(\fat{x})$を用いて， 客観性を持つ変形速度との間を ある直交異方性を有する材料定数で結びつけた

$$\objective{\fat{\sigmaup}}(\fat{x})= \fat{C}(\fat{\sigmaup}, \fat{x}, \mbox{履歴}(\fat{X})) \fat{:} \fat{d}(\fat{x})$$ (12.145)

のような関係式で，構成則を定義することもできる。 最も広く用いられているのは，Cauchy応力のJaumann速度と変形速度を 弾性係数で関係付けるモデルだろう。つまり

$$\jaumann{\fat{\sigma}}=\fat{C} \fat{:} \fat{d}$$ (12.146)

となる。これは亜弾性 の一種で，このモデルが保存的ではなくエネルギ散逸が避けられないということには注意する。 再度，3軸方向への載荷状態を対象にすればスピンはすべて零なので， 上式は

$$\left\{\begin{array}{c} \dot{\sigma}_{11} \ \dot{\sigma}_{... ...rray}{c} d^L_{11} \ d^L_{22} \ d^L_{33} \end{array}\right\}$$ (12.147)

となる。右辺の$\fat{d}^L$は式(12.65)で定義した 対数ひずみ速度である。単純な載荷状態なので

$$\matrx{n}=\matrx{N}=\matrx{I}, \quad \matrx{d^L}= \left[ \left(\ln\Lambda\right)\dot{} \right]$$

となる。ここに$\matrx{I}$は単位行列である。 したがって，式(12.131)のCauchy応力の更新規則を考慮すると， 上式(12.147)は積分できて，結局

$$\left\{\begin{array}{c} \sigma_{11} \ \sigma_{22} \ \sigm... ...right\} \quad\to\quad \fat{\sigma}=\fat{C} \fat{:} \fat{E}^L$$

のように，Cauchy応力と対数ひずみを線形関係で結び付けた前節の モデルの一つに一致する。したがって，引張り試験の結果も， 前節の対応する図のようになる。

あるいは式(12.134)の超弾性 のモデルから，$\phi$が明確に定義できる場合にはそれを物質微分して

$$\dot{S}_{IJ}= \left(\D{\left(\rho_0 \phi\right)}{E_{IJ}}\ri... ...{KL}]{\left(\rho_0 \phi\right)}{E_{IJ}}\right) \dot{E}_{KL}$$

という増分関係も成立する。 大変形を許容する，特に社会基盤構造に関係した材料の場合には， 材料の真の初期状態を定義することは困難である。 したがってある変形状態あるいは応力状態を仮の初期状態とするのだが， 結局は各状態における増分関係（これからどうなろうとするのか）で 構成則を定義する方が相応しいと考えられる。 つまり固体の場合はupdated Lagrange的な構成則を定義するのが望ましい。 そこで上式のupdated Lagrange的な極限をとり， 式(12.118) (12.120) (12.121)を 用いれば，Truesdell応力速度と変形速度の間に

$$\truesdell{\sigma}_{ij}=\overline{C}_{ijkl}\left(\rho, \fat{... ...eft(\D[2][1][E_{KL}]{\left(\rho_0 \phi\right)}{E_{IJ}}\right)$$ (12.148)

という構成則が，超弾性と等価な増分構成則として成立する。 最も基本的なモデルとして，この弾性係数 $\overline{\fat{C}}$を 定数係数の$\fat{C}$で再定義して

$$\truesdell{\fat{\sigma}}=\fat{C} \fat{:} \fat{d}$$ (12.149)

と関係付けた構成則も成立するだろう。

あるいは，Cauchy応力ではなく， 式(12.115)のKirchhoff応力のJaumann速度と変形速度の間に

$$\jaumann{\fat{\tau}}{}^K=\fat{C} \fat{:} \fat{d}$$ (12.150)

という線形関係があるとするモデルも可能だ。 式(12.149)の場合と， 式(12.150)の場合の2者の例も示して，Cauchy応力のJaumann速度を 用いた場合と比較しておこう。 いずれも

$$\dot{\sigma}_{11}=\left(\alpha+\beta \sigma_{11}\right) \l... ...alpha+\beta \sigma_{11}} =\dfrac{\dot{\Lambda}_L}{\Lambda_L}$$

と表すことができるので積分でき

$$\sigma_{11}=\dfrac{R}{\Lambda_T^2} =\dfrac{\alpha}{\beta}\le... ...\right), \quad \ln\Lambda_T=-\dfrac{C_1}{C_0+C_1}\ln\Lambda_L$$

と書くことができる。ここに

$$\alpha\equiv\dfrac{C_0\left(C_0+C_1\right)-2C_1^2}{C_0+C_1},... ...C_1}{C_0+C_1}: & \mbox{Truesdellの応力速度} \end{array}\right.$$

と定義した。 以上の三つのモデルで $\slfrac{C_1}{C_0}=\slfrac12$とした場合の 結果を，2本の実線と1本の一点鎖線で図-12.19に示した。 ただしTruesdellの応力速度の場合には $\slfrac{C_1}{C_0}=\slfrac14$, $\slfrac23$の 場合も並べて破線で描いたが， これはそれぞれ微小変形理論のPoisson比が$\nu=0.2$, 0.4に相当する。 やはり応力速度の選択の違いによって， 引張り試験の結果には大きな差が現れている。 ところで，Truesdellの応力速度を用いた場合の結果は，縦軸の 応力レベルや横軸の変形にあまり依存せず，その勾配がほぼ同じになっている。 例えば鋼等の結晶金属材料を対象にすると，ほとんどの弾性変形成分は 結晶格子そのものの歪みであろうし，それは応力レベルだけでなく， 転位の移動による巨視的な非可逆変形のレベルに依存しない一定の特性と 考えてよさそうだ。 そういう考察に基づけば，結晶金属材料の弾性部分にはTruesdellの応力速度を 用いるのが相応しいかもしれないと思い，この例でも3種類の材料パラメータで 図示してみた。

図 12.19: 速度型で定義された弾性モデル

図 12.20: 速度型で定義された非圧縮弾性モデル

非圧縮性材料の速度型構成則の場合は， 非圧縮性の条件が式(12.60)で与えられるので

$$\objective{\fat{\sigmaup}}=\fat{C} \fat{:} \fat{d}+p \fat... ... p \end{array}\right\}, \quad d_{22}=d_{33}=-\dfrac12 d_{11}$$

のような関係でモデル化できる。1軸状態を 対象とするので， $\dot{\sigma}_{22}=\dot{\sigma}_{33}=0$から$p$を消去して， 前節の場合と同様の演算を経て $\dot{\sigma}_{11}$を 求めると，Truesdellの応力速度の場合も

$$\objective{\fat{\sigmaup}}\coloneqq\truesdell{\fat{\sigma}} ... ...3}{4 \Lambda_L}\left(C_0-C_1\right)\left(\Lambda_L^2-1\right)$$

となり，Cauchy応力のJaumann速度の場合も

$$\objective{\fat{\sigmaup}}\coloneqq\jaumann{\fat{\sigma}} \... ...d R=\dfrac{3}{2 \Lambda_L}\left(C_0-C_1\right)\ln(\Lambda_L)$$

のように積分できるが， 後者は前節の結果と一致する。ちなみに $\Lambda_T^2= \slfrac{1}{\Lambda_L}$である。図-12.20には， 前節と同様 $\slfrac{C_1}{C_0}=\slfrac{-1}{2}$にした 場合（Poisson比$\nu=-1$相当）と， 非圧縮粘性流体のように微小変形理論における 式(3.40) (3.41)のHookeの法則で， せん断挙動を記述するひずみには偏差ひずみではなく全ひずみを用いて

$$\sigma'_{ij}=2G \epsilon'_{ij}, \quad \sigma_{kk}= K \eps... ...to\quad \sigma'_{ij}=2G \epsilon_{ij}, \quad \sigma_{kk}= 3p$$

とみなした場合（$\nu=\slfrac12$相当）， つまり $\slfrac{C_1}{C_0}=0$の場合の結果を示した。 実線がTruesdellの応力速度を用いた場合で，破線がCauchy応力のJaumann速度の 場合である。 傾向としては，圧縮性材料モデルの場合とほぼ同様である。 このいくつかの例で明らかなように， 最も単純な定数係数の線形関係で構成則を定義しても， 応力や応力速度およびひずみの定義に存在する非線形性によって， 荷重変形関係は線形から大きくずれることには十分注意する必要がある。 材料試験に現れる非線形性のうち，どれがこの定義の非線形性によるもので， どれが材料そのものの非線形性なのか，きちんと区別する必要がある。 とても難しいとは思うが。

次に，Cauchy応力のJaumann速度の 有名な特性[49]についてTruesdellの応力速度を 用いた場合と比べておこう。図-12.21の インセットに示したように，高さと幅を保ったままにして$x_1$方向にせん断変形$\gamma$を与える。 この場合の変位成分は $u_1=X_2 \tan\gamma$だけなので

$$\matrx{F}=\left(\begin{array}{cc} 1 & \tan\gamma \\ 0 & 1... ...array}{cc} 1 & -\tan\gamma \\ 0 & 1 %\\ \end{array}\right)$$

となる。簡単のために$2\times 2$の部分のみを示す。 高さと幅を保持しているので体積変化は無く$J=1$のままである。 これから

$$\matrx{l}=\left(\begin{array}{cc} 0 & \left(\tan\gamma\right)\dot{} \\ 0 & 0 \end{array}\right)$$

となり，変形速度とスピンは

$$\matrx{d}=\left(\begin{array}{cc} 0 & \slfrac12\left(\tan\g... ...-\slfrac12\left(\tan\gamma\right)\dot{} & 0 \end{array}\right)$$

となる。 ロードセル等で測定できる変形前の単位面積当たりの 外力は式(12.80)のnominal応力で 定義すればいいので，この変形の場合は

$$S^N_{11}=\sigma_{11}-\sigma_{12} \tan\gamma, \quad S^N_{21}... ...\sigma_{22} \tan\gamma, \quad S^N_{22}=\sigma_{22} \eqno{(*)}$$

という関係になる。 面白いことに当たり前だが，この関係は自動的にモーメントの つり合い $S^N_{21}-S^N_{12}-S^N_{22} \tan\gamma=0$を満足している。

図 12.21: 単純せん断

まずJaumannの応力速度で^12.27構成則を定義する場合を考えよう。 式(12.114)の定義から，この変形の場合は

$$\begin{eqnarray*} \jaumann{\sigma}_{11}&=& \dot{\sigma}_{11}-\sigma_{12} \left... ...a_{11}-\sigma_{22}\right)\dfrac12 \left(\tan\gamma\right)\dot{} \end{eqnarray*}$$

となる。これが$\fat{d}$との間に， 直交異方性を有する定数係数の線形関係にある弾性体だとし， 変形速度は$d_{12}=d_{21}$のみが非零であることから

$$\jaumann{\sigma}_{11}=0, \quad \jaumann{\sigma}_{22}=0, \qua... ...C_{66} d_{12}=\dfrac12 C_{66} \left(\tan\gamma\right)\dot{}$$

が成立することになる。$C_{66}$がせん断接線係数のVoigt定数で， 微小変形理論の$2G$に相当する。 これから

$$\begin{eqnarray*} \dot{\sigma}_{11}&=&\sigma_{12} \left(\tan\gamma\right)\dot{}... ...{11}-\sigma_{22}\right)\right\} \left(\tan\gamma\right)\dot{} \end{eqnarray*}$$

となるので，まず

$$\dot{\sigma}_{11}+\dot{\sigma}_{22}=0 \quad \to \quad \sigma_{11}+\sigma_{22}=0$$

という関係と

$$\dfrac{\dot{\sigma}_{12}}{\dot{\sigma}_{11}-\dot{\sigma}_{22... ...c{C_{66}-\left(\sigma_{11}-\sigma_{22}\right)}{4 \sigma_{12}}$$

という関係が求められる。後者は積分できて

$$\left(\dfrac{2 \sigma_{12}}{C_{66}}\right)^2+ \left(\dfrac{\sigma_{11}-\sigma_{22}}{C_{66}}-1\right)^2=1$$

（楕円状の軌跡を描く）つまり

$$\dfrac{\sigma_{12}}{C_{66}}=\dfrac12 \sin\theta, \quad \dfrac{\sigma_{11}-\sigma_{22}}{C_{66}}=1-\cos\theta$$

と置いていいので，これを上の応力速度 $\dot{\sigma}_{12}$の式

$$\left(\dfrac{\dot{\sigma}_{12}}{C_{66}}\right)= \dfrac12 \l... ...}-\sigma_{22}}{C_{66}}\right) \left(\tan\gamma\right)\dot{}$$

に代入して

$$\dfrac12 \cos\theta \left(\tan\gamma\right)\dot{}= \dfrac... ...amma\right)\dot{}=\dot{\theta}\quad\to\quad \theta=\tan\gamma$$

を得る。したがって，最終的に各応力成分は

$$\dfrac{\sigma_{12}}{C_{66}}=\dfrac12 \sin\left(\tan\gamma\r... ...{C_{66}}= \dfrac12\left\{1-\cos\left(\tan\gamma\right)\right\}$$

と求められ，これを式($*$)に代入して外力を求めると

$$\begin{eqnarray*} \dfrac{S^N_{21}}{C_{66}}&=&\dfrac12 \sin\left(\tan\gamma\righ... ...}}{C_{66}}=-\dfrac12\left\{1-\cos\left(\tan\gamma\right)\right\} \end{eqnarray*}$$

となる。 この最初の式を図-12.21に示した。$\gamma$が 約57.5度で$\slfrac12$の最大値に達し，あとは $\gamma\to\slfrac{\pi}{2}$に 向けて無限に潰れて行くsine曲線になる。 これは直感的にもかなり奇妙な挙動になってしまっている。 また消しゴムを潰してみて感じるように，$S^N_{22}$等が零にならない 結果は正しいようにも感じるかもしれないが， 実験を無理に行った場合には，平均的にはこれも零になるのではないだろうか。 いずれにしても，Jaumannの応力速度の適用範囲は，角度$\gamma$で せいぜい45度くらいまでだろう。

次に，Truesdellの応力速度で構成則を定義する場合を考えよう。 ここで対象としている変形状態は体積変化が無いので， 構成則にOldroydの応力速度を用いた場合も同じ結果になる。 式(12.121)の定義から，この変形の場合は

$$\truesdell{\sigma}_{11}= \dot{\sigma}_{11}-2 \sigma_{12} ... ...\dot{\sigma}_{12}- \sigma_{22} \left(\tan\gamma\right)\dot{}$$

となる。これが$\fat{d}$との間に， 直交異方性を有する定数係数の線形関係にある弾性体だとする。 結局，それから

$$\dot{\sigma}_{11}=2 \sigma_{12} \left(\tan\gamma\right)\do... ...2 C_{66}+\sigma_{22}\right\} \left(\tan\gamma\right)\dot{}$$

となる。これは容易に積分できて，最終的に各応力成分は

$$\dfrac{\sigma_{12}}{C_{66}}=\dfrac12 \tan\gamma,\quad \dfra... ...6}}=\dfrac12 \tan^2\gamma,\quad \dfrac{\sigma_{22}}{C_{66}}=0$$

と求めらる。これを式($*$)に代入して外力を求めると

$$\dfrac{S^N_{21}}{C_{66}}=\dfrac{S^N_{12}}{C_{66}}=\dfrac12 ... ...mma, \quad \dfrac{S^N_{11}}{C_{66}}=\dfrac{S^N_{22}}{C_{66}}=0$$

といった，とても単純な結果になる。 この最初の式も図-12.21に示したが， 当然なことに$\gamma$が直角に近づくにつれて外力は無限大になる。 ここで対象としているような変形を一様に起こす実験はほぼ不可能だが， 消しゴムを潰してみたときに，平均的には$S^N_{22}$が零になることには あまり抵抗は無いのではないだろうか。 外力状態は純せん断状態と同じになっている。 ただもちろん，図-12.21の縦軸の 単位面積当たりの外力は 弾性係数レベルというとんでもなく大きな値に至ることには注意する。

最後に式(12.97)の第2 Piola-Kirchhoff応力を 求めてみると

$$S_{11}=\sigma_{11}-2 \sigma_{12} \tan\gamma =-\dfrac12 C... ..._{22}=0, \quad S_{12}=\sigma_{12}=\dfrac12 C_{66} \tan\gamma$$

となる。これに対応させてGreenのひずみを求めると，式(12.9)等から

$$E_{11}=0, \quad E_{22}=\dfrac12 \tan^2\gamma, \quad E_{12}=\dfrac12 \tan\gamma$$

と求められる。もし，第2 Piola-Kirchhoff応力とGreenのひずみを 直交異方性の定数係数で関係付けた構成材料で， ここで「実験した」Truesdellの応力速度を用いた構成則に等価なモデルを表すと

$$\left\{ \begin{array}{c} S_{11} \ S_{22} \ S_{12} \end{ar... ...egin{array}{c} E_{11} \ E_{22} \ E_{12} \end{array}\right\}$$

という材料に相当することになる。 面白いことに，これで定義できる材料が存在するとすれば それは不安定である。 あるいは逆に，第2 Piola-Kirchhoff応力とGreenのひずみを 直交異方性の定数係数で関係付けた 構成則 $\fat{S}=\fat{C}\fat{:}\fat{E}$に従う材料の場合には

$$S^N_{11}=\dfrac12\left(C_1+C_{66}\right) \tan^2\gamma, \qua... ..._{21}=\dfrac12 C_{66} \tan\gamma+\dfrac12 C_0 \tan^3\gamma$$

となる。簡単のために前節での例と同様， $\slfrac{C_0}{C_{66}}=2$（微小変形 理論におけるHookeの法則のPoisson比が$\nu=\slfrac13$に相当する） とした場合の結果も図-12.21に示した。 応力とひずみの定義に含まれている運動学的な非線形性の ために，$\gamma$が $\slfrac{\pi}{10}$くらい，つまり20度程度で 線形性から離脱し始めている。 ただしこの場合も，弾性ひずみだけが$\pm100$%に達することは無いだろうから， それほど気にする必要もないかもしれない。

1. この節-12.5.3で描いた図の関係を 自ら求めて図示してみよ。

12.5.4 弾塑性体の代表例--速度非依存塑性

12.5.4.1 Prandtl-Reussモデル

最も代表的な， Misesの降伏条件を用いた関連$J_2$流れ則のモデルを用いて， 基本的な増分弾塑性構成則の記述法を説明しよう。 この節では速度非依存塑性を対象とするので，速度と増分を区別しない。 塑性の特性から，塑性ひずみは増分しか定義できず， その積分は履歴依存の代数和でしか得られないことから， 数値解析においては小さい載荷ステップ毎の増分計算をするのが素直である。 したがって，弾性成分もその小さい応力増分に対する変化で 抵抗則を記述しておいた方が便利である。 増分を扱う場合には，変形速度とスピンは式(12.72)のように 弾性成分と塑性成分に加算分解できて

$$\fat{d}(\fat{x})=\fat{d}\super{e}(\fat{x})+\fat{d}\super{p}(... ...}(\fat{x})=\fat{w}\super{e}(\fat{x})+\fat{w}\super{p}(\fat{x})$$ (12.151)

が厳密に成立する。

弾性は等方のHookeの法則を拡張したものとして超弾性 の式(12.134)を根拠にして，それを物質微分すれば

$$\dot{S}_{IJ}= \left(\D{\left(\rho_0 \phi\right)}{E_{IJ}}\ri... ...{KL}]{\left(\rho_0 \phi\right)}{E_{IJ}}\right) \dot{E}_{KL}$$

という増分関係が成立する。 第2 Piola-Kirchhoff応力やGreenのひずみは材料の抵抗則を 表すのに相応しいLagrange的な尺度ではあるものの， その座標成分の物理的な意味が構成則としては扱い難いものであることは前述した。 ただ塑性を含む場合には，流れ則の物理的特性によってupdated Lagrange的な 増分構成則を定義するのが望ましいので， 上式のupdated Lagrange的な極限をとることによって， 式(12.118) (12.120) (12.121)を 用いれば，Truesdellの応力速度と変形速度の弾性成分との間に

$$\truesdell{\sigma}_{ij}=\overline{C}_{ijkl}\left(\rho, \fat{... ...eft(\D[2][1][E_{KL}]{\left(\rho_0 \phi\right)}{E_{IJ}}\right)$$ (12.152)

という，明解な増分構成則を得る。 この弾性係数 $\overline{\fat{C}}$が定数で，微小変形理論の等方弾性Hooke則と 整合するためには，式(3.50)から

$$\truesdell{\sigma}_{ij}=C_{ijkl} d\super{e}_{kl}, \qquad C_... ...) +\left(K-\dfrac{2\mu}{3}\right) \delta_{ij} \delta_{kl}$$ (12.153)

であればいいことになる。 ここに$\mu$と$K$はそれぞれせん断弾性係数と体積弾性係数である。 あるいはその逆関係は，式(3.55)から

$$d\super{e}_{ij}=D_{ijkl} \truesdell{\sigma}_{kl}, \qquad D_... ...}{3 K}- \dfrac{1}{2 \mu}\right) \delta_{ij} \delta_{mn}$$ (12.154)

となる。

さて式(12.123)に示したように，Truesdellの 応力速度は，材料と一緒に剛体的に回転する成分の補正項だけではなく， 共に膨張して歪む成分の補正項を含んでいる。 しかし多くの研究では，この剛体的な回転を除去する部分のみが 取り上げられ，客観的な応力速度としてCauchy応力のJaumann速度が 用いられることが多い。 そこで，ここでもそのように仮定し，上式(12.154)を

$$d\super{e}_{ij}=D_{ijkl} \jaumann{\sigma}_{kl}$$ (12.155)

と再定義することにする。 超弾性的な弾性モデルからすれば，この仮定は近似である。

さてMisesの降伏関数は，有限変形の枠組では

(12.156)

で与えればいい。 $\overline{\sigma}$は式(9.22a)で 定義した相当応力である。一方，流れ則も同様に

$$d\super{p}_{ij}=\lambda \D{f}{\sigma_{ij}} =\lambda \dfrac{\sigma'_{ij}}{2 \overline{\sigma}}$$ (12.157)

である。 さらに整合条件 $\left(\dot{f}=0\right)$に式(12.156a)を代入して

(12.158)

を得る。Misesの降伏条件は，材料中に方向性を持った微視的なメカニズムを モデル化したものではない。 したがって材料と共に回転する観察者として流れ則を捉える必要は無く， またCauchy応力の更新は式(12.131)のようにCauchy応力の 物質微係数の加算でいいことから，上式の整合条件も単純な物質微分で 定義すればいいことになる。 方向性を有するメカニズムの 例は節-12.5.4 (4)に示した。 これを式(12.157)に代入して

$$d\super{p}_{ij}= \dfrac{1}{H}\dfrac{\sigma'_{ij} \sigma'_{kl}}{4 \overline{\sigma}^2} \dot{\sigma}_{kl}$$ (12.159)

のように，塑性成分を表現できる。 ここで，弾性の構成関係と合わせるために，Cauchy応力の 物質微係数をJaumann速度に置き換えるために，その定義を上式に 代入してみよう。右辺の応力と応力増分の積に 式(12.114)のJaumann速度を代入して，その中から スピンを含む項を一つ， 例えば $\sigma'_{kl} w_{kj} \sigma_{jl}$を取り出すと，Cauchy応力の 対称性から

$$\sigma'_{kl} w_{kj} \sigma_{jl} =\dfrac12\left( \sigma'_{k... ...\sigma_{jl}- \sigma'_{jl} w_{kj} \sigma_{kl}\right)=\cdots=0$$

となることを容易に確認できる。 したがって，上式(12.158a) (12.159)の応力増分をJaumann速度で 置き換えてもよく，結局

$$d\super{p}_{ij}= \dfrac{1}{H}\dfrac{\sigma'_{ij} \sigma'_{kl}}{4 \overline{\sigma}^2} \jaumann{\sigma}_{kl}$$ (12.160)

が塑性の構成則になる。

最終的に，式(12.155)の弾性成分と式(12.160)の 塑性成分を式(12.151)に代入すれば

$$d_{ij}=\left(D_{ijkl}+ \dfrac{1}{H}\dfrac{\sigma'_{ij} \si... ..._{kl}}{4 \overline{\sigma}^2} \right) \jaumann{\sigma}_{kl}$$ (12.161)

という増分構成則が求められる。 さらにその逆関係は

$$\jaumann{\sigma}_{ij}=\left(C_{ijkl}- \dfrac{\mu^2}{\mu+H}\... ...gma'_{ij} \sigma'_{kl}}{\overline{\sigma}^2} \right) d_{kl}$$ (12.162)

となる。 載荷条件も式(9.39)から

$$\mbox{弾性:} \quad \lambda=0 \quad \mbox{もし} \quad f<0$$

$$\mbox{除荷:} \quad \lambda=0 \quad \mbox{もし} \quad f=0 \quad \mbox{かつ} \quad \sigma'_{ij} \jaumann{\sigma}_{ij}<0$$

$$\mbox{中立載荷:} \quad \lambda=0 \quad \mbox{もし} \quad f=0 \quad \mbox{かつ} \quad \sigma'_{ij} \jaumann{\sigma}_{ij}=0$$ (12.163)

$$\mbox{載荷:} \quad \lambda>0 \quad \mbox{もし} \quad f=0 \quad \mbox{かつ} \quad \sigma'_{ij} \jaumann{\sigma}_{ij}>0$$

と書くことができる。

12.5.4.2 非関連流れ則

基本的なモデルとして，節-9.4.2で 概説した一つの非関連流れ則[60]を紹介しておこう。 実はこちらが元で，節-9.4.2はその微小変形理論版である。 まず降伏関数$f$と塑性ポテンシャル$g$を

$$f\equiv \overline{\sigma}-F(\mbox{I}_1, \Delta\super{p}, \... ...lon}\super{p}), \qquad g\equiv \overline{\sigma}+G(\mbox{I}_1)$$ (12.164)

と定義している。ここに $\overline{\sigma}$は式(9.22a)で 定義した相当応力であり，$\mbox{I}_1$は式(3.35)で 定義した応力の第1不変量である。 また塑性的体積ひずみとせん断ひずみはそれぞれ

$$\Delta\super{p}\equiv\int_{\mbox{\scriptsize 履歴}} \dfrac{... ... 2 d\super{p}\mbox{}'_{ij} d\super{p}\mbox{}'_{ij}} \dint t$$ (12.165)

と定義した。

上式(12.164)の塑性ポテンシャルを， 流れ則の式(9.72)に代入すると

$$d\super{p}_{ij}=\lambda \left\{ \dfrac{\sigma'_{ij}}{2 \ov... ...ad \beta=\beta(\mbox{I}_1)\equiv \D{G(\mbox{I}_1)}{\mbox{I}_1}$$ (12.166)

という関係になる。 次に整合条件は

$$\dot f= \D{\overline{\sigma}}{\sigma_{ij}} \dot{\sigma}_{ij... ...ne{\epsilon}\super{p}} {\dot{\overline{\epsilon}}}\super{p}=0$$

となることから，式(9.36) (12.165)を考慮すれば

$$\dfrac{\sigma'_{ij}}{2 \overline{\sigma}} \dot{\sigma}_{i... ...\sqrt{ 2 d\super{p}\mbox{}'_{ij} d\super{p}\mbox{}'_{ij} }$$ (12.167)

となる。これに式(12.166)を代入して整理すると$\lambda$が

$$\lambda=\dfrac{1}{H} \left( \dfrac{\sigma'_{kl}}{2 \ove... ...\Delta\super{p}} \beta + \D{F}{\overline{\epsilon}\super{p}}$$ (12.168)

となる。$H$は硬化係数 である。これを流れ則の式(9.133)に代入し戻せば

$$d\super{p}_{ij}=\dfrac{1}{H} \left\{ \dfrac{\sigma'_{ij}}{... ...1, \Delta\super{p}, \overline{\epsilon}\super{p})}{\mbox{I}_1}$$ (12.169)

のように，塑性ひずみ増分を表現できる。 ここでも式(12.160)の誘導のように，Cauchy応力の 物質微係数をJaumann速度に置き換えることができるので，結局

$$d\super{p}_{ij}=\dfrac{1}{H} \left\{ \dfrac{\sigma'_{ij}}{... ...e{\sigma}}+\alpha \delta_{kl} \right\} \jaumann{\sigma}_{kl}$$ (12.170)

を得る。

弾性は前節と同様，式(12.155)のHooke則を満足するものとすると， 結局加算則の式(12.151)から

$$d_{ij} = D_{ijkl} \jaumann{\sigma}_{kl} + \dfrac{1}{H} \... ...e{\sigma}}+\alpha \delta_{kl} \right) \jaumann{\sigma}_{kl}$$ (12.171)

となる。同様にその逆関係は

$$\jaumann{\sigma}_{ij}= C_{ijkl} d_{kl} - \dfrac{\left(\dfr... ...\alpha \delta_{kl} \right)}{H+\mu+9K \alpha \beta} d_{kl}$$ (12.172)

となる。 それぞれ，式(9.144)と式(9.145)の 応力速度をCauchy応力のJaumann速度で置き換えたものと形式的に一致する。

12.5.4.3 非共軸モデル

やはり地盤や岩盤のように，いわゆる法線則が成立しない材料もある。 一つのモデルとして節-9.4.3で 紹介したもの[65]がある。 流れ則に，応力との非共軸項，つまり応力増分との共軸項を加えて

$$d\super{p}_{ij}=\lambda \D{g}{\sigma_{ij}}+ \dfrac{1}{2 h... ...} \sigma'_{ij} \sigma'_{kl} \jaumann{\sigma}_{kl} \right)$$ (12.173)

と仮定している。 降伏関数と塑性ポテンシャルは式(12.164)と同じである。 誘導は節-9.4.3に概説したので省略すると， 塑性ひずみ増分が

$$d\super{p}_{ij}=\dfrac{1}{H} \left\{ \dfrac{\sigma'_{ij}}{... ...} \sigma'_{ij} \sigma'_{kl} \jaumann{\sigma}_{kl} \right)$$ (12.174)

と，近似的関係として求められる。 ここでも 弾性は前節と同様，式(12.155)のHooke則を満足するものとすると， 結局総ひずみ増分が

$$d_{ij} = \dfrac{1}{2\mu} \jaumann{\sigma}_{ij} +\dfrac13 \left( \dfrac{1}{3K}-\dfrac{1}{2\mu} \right) \delta_{ij} \jaumann{\sigma}_{kk}$$ (12.175)

$$\mbox{}\qquad +\dfrac{1}{H} \left\{ \dfrac{\sigma'_{ij}}{2 \ov... ...overline{\sigma}^2} \sigma'_{ij} \sigma'_{kl} \jaumann{\sigma}_{kl} \right)$$

と表される。 結局，増分構成方程式は，式(9.150) (9.151)の 応力速度をCauchy応力のJaumann速度に置き換えたものになる。

12.5.4.4 すべり系を有する単結晶モデル

金属単結晶中の転位の移動により生じる 塑性変形を分布する（連続体的）すべりでモデル化したAsaroの モデル[3,5]を紹介しておこう。 まず弾性は，結晶格子と一緒に弾性的に剛体回転した観察者から 見た客観的な応力速度と変形速度の間に，その抵抗則を定義している。 ただし，Cauchy応力ではなく，Kirchhoff応力のJaumann速度に 倣って

$$\asaro{\sigma}_{ij}+\sigma_{ij} d\super{e}_{kk}= C_{ijkl} d\super{e}_{kl}$$ (12.176)

と定義している。 ここに

$$\asaro{\sigma}_{ij}\equiv \dot{\sigma}_{ij}-w\super{e}_{ik} \sigma_{kj}-w\super{e}_{jk} \sigma_{ki}$$ (12.177)

と定義されている。 式(12.123)に示したように，Truesdellの 応力速度は剛体的な回転と伸び縮みおよび歪みによるCauchy応力の 補正項を三つ，ちょうど弾性座屈の幾何剛性項のように有しているが， 上式(12.176)では，結晶格子の剛体的な回転と格子間隔の 伸び縮みによる二つの補正だけを考慮した応力速度で， 弾性抵抗増分を定義していることになる。 つまり，結晶格子がジグザグになる影響はほぼ無視できるものと考えている。

図 12.22: $\alpha$すべり系

これに対し塑性変形は， 転位の移動によって結晶格子面（Burgersベクトル）分だけの ズレあるいはすべり変形が連続的に分布・蓄積する^12.28ものとしてモデル化されている。 つまり図-12.22に示したように， 単位法線ベクトルを $\fat{n}^\alpha$とする$\alpha$すべり面上で すべり変形増分 $\dot{\gamma}^\alpha$が生じようとしていると考える。 もちろん $\dot{\gamma}^\alpha$は非可逆的な変形^12.29と考え，単位方向ベクトル $\fat{s}^\alpha$と 逆向きのすべり系も同時に存在するものとする。 このとき，この$\alpha$すべり系に生じるすべり増分によって

$$v_{i,j}\super{p}=\dot{\gamma}^\alpha s_i^\alpha n_j^\alpha, \quad \alpha=1, \cdots, N$$ (12.178)

のような塑性的な速度勾配成分が発生する。 ここでは添え字$\alpha$は三つ現れていることから， その総和はとらない。$N$は存在するすべり系の数であり， 結晶構造によってこの向きと数は決まる。 例えば図-9.16の面心立方晶の例を参照して欲しい。 転位は止まっているときには何も変形を生じさせないが， それが移動することによって非可逆変形が生じるため，それが速度勾配場の 発生でモデル化されている。したがって，変形速度とスピンの塑性成分は

(12.179)

となる。ここに$\sum_\alpha$は，$N$個のすべり系のうち滑動しようとしている （後述する載荷条件を満足する）すべり系に対してのみ総和をとるものとする。 また

$$p_{ij}^\alpha\equiv\dfrac12\left(s_i^\alpha n_j^\alpha + n... ...2\left(s_i^\alpha n_j^\alpha - n_i^\alpha s_j^\alpha\right)$$ (12.180)

と定義されている。ここも$\alpha$については総和をとらない。 以下，すべり系についての添え字については，総和をとるときは総和記号で 明示することにする。 転位が移動しても結晶格子は回転しないだろうから，この $\fat{w}\super{p}$は 弾性的なスピンを補って適合させるために生じているものと解釈する。 したがって，すべり面の運動は弾性的にしか生じないものとし

$$\dot{s}_i^\alpha=w_{ij}\super{e} s_j^\alpha, \quad \dot{n}_i^\alpha=w_{ij}\super{e} n_j^\alpha$$ (12.181)

のような単純な回転運動しかしないものとする。 これによって，二つのベクトル $\fat{s}^\alpha$と $\fat{n}^\alpha$は 単位ベクトルのままになるのでわかり易い。

あとは降伏条件と流れ則を定義すれば，弾塑性構成則をモデル化できる。 これは各すべり系における摩擦とすべりでモデル化するのが最も素直で 単純である。 つまり，ある$\alpha$すべり系のすべり面上のせん断応力が ある規準値 $\tau\subsc{y}^\alpha$に達したとき，つまり

$$\tau^\alpha\equiv \sigma_{ij} s_i^\alpha n_j^\alpha = \tau\subsc{y}^\alpha$$ (12.182)

を満足したときに転位が動き始めるものとする。 この $\tau\subsc{y}^\alpha$は最大摩擦力に相当する材料パラメータである。 また，流れ則はそれに対応して，そのすべり面上のSchmid則 で与える。それは上式(12.182)の変化則に相当し

$$\dot{\tau}^\alpha=\sum_\beta h^{\alpha\beta} \dot{\gamma}^\beta$$ (12.183)

とモデル化されている。この $h^{\alpha\beta}$は$\beta$系の すべり増分によって$\alpha$系に生じるすべり抵抗力増分を与える材料 パラメータで，動摩擦係数に相当する一種の硬化係数である。 $\alpha\neq\beta$の 成分の物理的な意味については文献を参照して欲しい。

式(12.182)を物質微分すると

$$\dot{\tau}^\alpha= \dot{\sigma}_{ij} s_i^\alpha n_j^\alph... ...}_i^\alpha n_j^\alpha + \sigma s_i^\alpha \dot{n}_j^\alpha$$

となるので，すべり面の運動の式(12.181)を代入して整理すると

$$\dot{\tau}^\alpha= \dot{\sigma}_{ij} s_i^\alpha n_j^\alph... ...er{e}_{ik} \sigma_{kj} -w\super{e}_{jk} \sigma_{ki} \right)$$

となる。つまり式(12.177)を参照すれば，この関係は

$$\dot{\tau}^\alpha=\asaro{\sigma}_{ij} s_i^\alpha n_j^\alpha$$

と表すことができる。 つまり，結晶格子と一緒に回転しながら観察した流れ則になっていて， ここが式(12.158)のPrandtl-Reussモデルの整合条件と異なる。 この結果を，Cauchy応力の対称性を損なわないように 定義し直して式(12.183)に代入すれば，流れ則が

$$\asaro{\sigma}_{ij} p_{ij}^\alpha =\sum_\beta h^{\alpha\beta} \dot{\gamma}^\beta$$ (12.184)

と表される。同様に，降伏条件式(12.182)も

$$\sigma_{ij} p_{ij}^\alpha=\tau\subsc{y}^\alpha$$ (12.185)

と書き直すことができる。 したがって，ある$\alpha$すべり系に対する載荷・除荷の条件は

$$\mbox{弾性:} \quad \dot\gamma^\alpha=0 \quad \mbox{もし} \quad \sigma_{ij} p_{ij}^\alpha<\tau\subsc{y}^\alpha$$

$$\mbox{除荷:} \quad \dot\gamma^\alpha=0 \quad \mbox{もし} \quad \sigma_{ij} p_{ij}^\... ...aro{\sigma}_{ij} p^\alpha_{ij}< \sum_\beta h^{\alpha\beta} \dot{\gamma}^\beta$$ (12.186)

$$\mbox{載荷:} \quad \dot\gamma^\alpha\ge 0 \quad \mbox{もし} \quad \sigma_{ij} p_{ij... ...aro{\sigma}_{ij} p^\alpha_{ij}= \sum_\beta h^{\alpha\beta} \dot{\gamma}^\beta$$

のように規定すればいいことがわかる。

さて， 式(12.184)の流れ則の左辺に式(12.176)の弾性関係を 代入し，変形速度の加算則の式(12.151)をそれに適用すると

$$\asaro{\sigma}_{ij} p_{ij}^\alpha= p_{ij}^\alpha \left( ... ...{ijkl} d\super{p}_{kl} + \sigma_{ij} d\super{p}_{kk} \right)$$

となる。これに式(12.179a)の変形速度の塑性成分の 運動学を代入すれば，結局式(12.184)から

$$\asaro{\sigma}_{ij} p_{ij}^\alpha= p_{ij}^\alpha \left( ... ...gamma}^\beta = \sum_\beta h^{\alpha\beta} \dot{\gamma}^\beta$$

という関係を得る。 載荷条件が満足されている場合には，この式からすべり増分が

$$\dot{\gamma}^\alpha=\sum_\beta M^{\alpha\beta} p_{ij}^\beta \left(C_{ijkl}-\sigma_{ij} \delta_{kl}\right) d_{kl}$$ (12.187)

と求められる。ここに $M^{\alpha\beta}$は次の $N^{\alpha\beta}$の逆行列である。

$$N^{\alpha\beta}\equiv h^{\alpha\beta}+p_{ij}^\alpha \left( C_{ijkl}-\sigma_{ij} \delta_{kl} \right) p_{kl}^\beta$$ (12.188)

また，弾性の式(12.176)に 変形速度の加算則の式(12.151)を利用すると

$$\jaumann{\sigma}_{ij}+\sigma_{ij} d_{kk}= C_{ijkl} d_{kl}... ...omega_{jk}^\alpha \sigma_{ki} \right) \dot{\gamma}^\alpha$$ (12.189)

となる。この2式(12.187) (12.189)から

$$\jaumann{\sigma}_{ij}= C_{ijkl} d_{kl} - \sigma_{ij} d_{k... ...ta \left(C_{mnpq}-\sigma_{mn} \delta_{pq}\right) d_{pq}$$ (12.190)

を得，これが単結晶体の増分弾塑性構成則の一つの表現になる。

なお，このモデルの塑性変形はあくまでも転位の蓄積を 連続体中に分布させたすべりでモデル化したものである。したがって これを多結晶体のシミュレーションに用いて，応力集中等で粒界に 塑性変形が集中したとしても，実際に界面で生じるであろう 空隙や亀裂をモデル化できているとは限らない。 そこでは，空隙の発生と単結晶粒の剛体的な回転^12.30も生じていると 考えられるが，それをこのAsaroのモデルで適切にシミュレーションできるとは 限らないので注意が必要である。

図 12.23: 多結晶モデルの降伏曲面の模式図

ひとつだけ平面ひずみ問題での多結晶金属モデル の例[43]を 示しておこう。図-12.23のインセットに あるように，単結晶粒を楕円形で近似し，各結晶粒には挟む角70度で二つの すべり線（したがって四つのすべり系$\alpha=1$〜4）のみがあるとする。 この結晶粒の向きが0度から90度までに2度刻みで46種類等間隔で 分布しているものとする。 各結晶粒内の微視的な構成則はこの節で示したモデルで与えられるものとし， 式(12.182)の基準値 $\tau\subsc{y}^\alpha$が硬化を含まず

$$\tau\subsc{y}^\alpha=\tau\subsc{y}^0=\mbox{const.}, \quad \gamma^0\equiv \dfrac{\tau\subsc{y}^0}{\overline{\mu}}$$

と一定であるとする。 さらに多結晶体としての平均挙動は， 解析的な平均化手法を有限変形増分理論に拡張したもので モデル化した。上式の $\overline{\mu}$は，その手法を用いて 多結晶体の平均的なせん断弾性係数である。これに対し$x_1$軸方向への 単調載荷によって変化する降伏曲面を模式的に^12.31示したの が図-12.23である。 単結晶間の相互作用を解析的平均化手法で考慮できているので， 初期にほぼ等方で円状の降伏曲面が載荷に伴って載荷方向に尖っていき， 応力状態の変化による移動硬化 も現れている。 また降伏曲面は，式(12.182)で定義された全すべり系の 降伏条件の中の最小条件から得られるため，折れ線状になる。 したがって降伏曲面に角点が生じるが，この角点では 対応した二つのすべりが可能になるだけで，境界値問題の解としては 唯一に塑性変形が決定できる（のであろうと考えている）。 鋼のように無数の単結晶粒の集合体である場合には，この角点は無くなり 滑らかな降伏面になると考えればいい。

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