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• 12.4.1 updated Lagrange手法
• 12.4.2 変形速度
• 12.4.3 応力速度
• 12.4.4 増分つり合い式
• 12.4.5 応力の更新

12.4 現配置を基準配置と捉えること

12.4.1 updated Lagrange手法

さて塑性を念頭に置けば，現配置を瞬間的に基準配置と捉えたLagrange的な量が 重要になりそうだ。 このように，現配置を瞬間的に基準配置にみなしたLagrange的 定式化はupdated Lagrange的定式化 と呼ばれる。 そのような時間変化率を定義するためには，Lagrange的な テンソル量の時間変化率を求めたあとに， 変形勾配の$\fat{F}$を瞬間的に単位テンソル$\fat{I}$に置き換える等とすれば いいので

$$\lim_{0\to t} \fat{F}=\fat{I}, \quad \lim_{0\to t} J=1, \quad \lim_{0\to t} \rho_0=\rho \quad \cdots \mbox{ etc.}$$ (12.116)

のように書くことにする。この $$\lim_{0\to t}$$は この文書独特の記号で， 現配置を瞬間的に基準配置とみなすLagrange的な極限であることを意味する。

12.4.2 変形速度

まず式(12.68)を振り返ってみよう。 つまり，対数ひずみ$\fat{E}^L$の時間変化率は， 対数ひずみ速度$\fat{d}^L$には一致していなかった。 しかし，このupdated Lagrange的な極限式(12.116)を 用いると

$$\lim_{0\to t} \matrx{E^L} = \matrx{0}, \quad \lim_{0\to t} \... ...matrx{\left(\ln\Lambda\right)\dot{}} \matrx*{n} = \matrx{d^L}$$ (12.117)

のように両者は一致する。 また，わかり難かったGreenのひずみ$\fat{E}$の時間変化率も， 式(12.52)から

$$\lim_{0\to t} \matrx{\dot{E}} = \matrx{d}$$ (12.118)

となり，updated Lagrange的なGreenのひずみ速度は変形速度そのもので あることがわかる。 構成則はできるだけLagrange的な尺度で表現するのが望ましいから， この$\dot{\fat{E}}$のupdated lagrange的な量 つまり$\fat{d}$がその尺度としては相応しいことが大いに期待できる。

12.4.3 応力速度

ではLagrange的な代表的応力テンソルである 第2 Piola-Kirchhoff応力の時間変化率を求めよう。 ところで， $X_{I,k} x_{k,J}=\delta_{IJ}$なので，この時間変化率は零である。 したがって

$$0=\left(X_{I,k} x_{k,J}\right)\dot{}= \dot{X}_{I,k} x_{k,... ..._{k,J} = \left(\dot{X}_{I,k}+X_{I,m} v_{m,k}\right) x_{k,J}$$

が成り立つので

$$\dot{X}_{I,j}=-X_{I,k} v_{k,j} \eqno{(*)}$$

という関係がある。 これを用いて，式(12.97)で定義した 第2 Piola-Kirchhoff応力の時間変化率を求めると， 式(12.58)の関係を考慮すれば

$$\dot{S}_{IJ}= J v_{k,k} \sigma_{ij} X_{I,i} X_{J,j} -J... ...,X_{I,j} \sigma_{ij} +J X_{I,i} X_{J,j} \dot{\sigma}_{ij}$$ (12.119)

となる。そこで，この変化率のupdated Lagrange的な速度を

$$\dot{s}_{ij}\equiv\lim_{0\to t}\dot{S}_{IJ}= \dot{\sigma}_{... ...{k,k} \sigma_{ij} -v_{i,k} \sigma_{kj}-v_{j,k} \sigma_{ik}$$ (12.120)

と定義しよう。 これも図-12.11の回転する物体の 例で算定し，式(12.110) (12.111) (12.113)を式(12.120)に代入すると， やはりすべて

$$\dot{s}_{11}=0, \quad \dot{s}_{22}=0, \quad \dot{s}_{12}=0$$

となり，客観性を有していることがわかる。 この応力速度$\dot{\fat{s}}$はTruesdellの応力速度 とも呼ばれており， $\truesdell{\fat{\sigma}}$と表すことにして

$$\truesdell{\sigma}_{ij} \equiv \dot{s}_{ij}= \dot{\sigma}_{ij}+v_... ...sigma}_{ij}+\sigma_{ij} d_{kk}\right) -d_{ik} \sigma_{kj}-d_{jk} \sigma_{ki}$$ (12.121)

と定義^12.19される。 最後の式の括弧の中は式(12.115)のKirchhoff応力のJaumann速度である。 また式(12.112)のOldroydの応力速度とは

$$\truesdell{\sigma}_{ij}=\oldroyd{\sigma}_{ij}+v_{k,k} \sigma_{ij}$$ (12.122)

という関係があるので，体積変化の無い変形状態や非圧縮性材料では， この二つの間に違いは無くなる。

図 12.12: Truesdellの応力速度の分解と物理的な解釈

ところでTruesdellの応力速度は，変形速度を等方成分と偏差成分に分解すると

$$\overunderbraces{& & \br{1}{\mbox{共回転}} & & & % & \br{1}... ... \br{2}{\jaumann{\sigma}_{ij}} & & \br{1}{\mbox{共膨張}} & & }$$ (12.123)

のように分解表示することができる。 これは図-12.12のように 解釈することができる。Truesdellの応力速度は， もともと第2 Piola-Kirchhoff応力のupdated Lagrange的な増分であり， 材料（この図の4本の棒）に貼り付けられた座標で材料が感じることが できる抵抗力の変化分である。一方Cauchy応力は 空間固定座標で定義された応力であり必ずしも材料が感じる抵抗力ではない。 そのように捉えると，最初の3項がCauchy応力のJaumann速度で スピンの項だけをCauchy応力の物質微係数から除去（ $\fat{S}=S_{IJ} \fat{G}_I\otimes\fat{G}_J$としたときの$\fat{G}_I$の剛体的な 回転を除去）したものに相当し，左から2番目の図のように， 剛体回転の影響を除去して材料が感じる抵抗力の増分を定義している。 左から3番目の図のように第4項は， 応力が生じている面積の材料の伸び縮みによる変化等を 除去（$\fat{G}_I$の伸び縮みの補正と，生じている面積も常に 単位化するCauchy応力の面積を補正）するための項になっている。 右端の図のように第5, 6項では，材料が歪もうとしている 幾何学的な変化による応力の変化を除去（$\fat{G}_I$が直交から ずれる変化を補正）するための項である。

次に，Biot応力の時間変化率を求めておく。 まず極分解の定理から $\dot{F}_{iJ}=\dot{R}_{iK} U_{KJ}+R_{iK} \dot{U}_{KJ}$なので

$$\lim_{0\to t}\dot{F}_{iJ}=l_{ij}= \lim_{0\to t}\dot{R}_{iK}+\lim_{0\to t}\dot{U}_{KJ}$$

となるが，式(12.53)から $$\lim_{0\to t}\dot{R}_{iJ}=\lim_{0\to t}\omega^R_{ij}$$であり， 式(12.69)より

$$\lim_{0\to t}w_{ij}=\lim_{0\to t}\omega^R_{ij}$$

となる。この2式から

$$\lim_{0\to t}\dot{U}_{KJ}=l_{ij}-w_{ij}=d_{ij}$$

となる。Biot応力の時間変化率は式(12.102)から

$$\dot{T}_{IJ}=\dfrac12\left( \dot{S}_{IK} U_{KJ}+U_{IK} \dot{S}_{KJ} +S_{IK} \dot{U}_{KJ}+\dot{U}_{IK} S_{KJ} \right)$$

であるので，上式をこれに代入すると

$${\displaystyle\mathop{\sigma}^{\odot}}_{ij}\equiv \dot{t}_{ij}\equiv \lim_{0\to t}\dot{T}_{IJ} = \truesdell{\sigma}_{ij}+\dfrac12\left( \sigma_{ik} d_{kj}+d_{ik} \sigma_{kj} \right)$$ (12.124)

$$= \jaumann{\sigma}_{ij}+v_{k,k} \sigma_{ij}-\dfrac12\left( \sigma_... ...n{\tau}{}^K_{ij}-\dfrac12\left( \sigma_{ik} d_{kj}+d_{ik} \sigma_{kj} \right)$$

という応力速度を得る。これは客観的な応力速度である。 この表現からもわかるように，一つの客観的な応力速度に 客観的な量である $\pm\fat{d} \fat{\sigma}$や $\pm\left(\fat\sigma \fat{d}+\fat{d} \fat\sigma\right)$等を加算した 応力速度も客観性を有し[92]ている。

最後に，nominal応力の時間変化率を求める。 式(12.80)の物質微分は式($*$)を考慮すれば

$$\dot{S}^N_{Ij}=J v_{k,k} \sigma_{mj} X_{I,m} - J X_{I,m} v_{m,k} \sigma_{kj}+J X_{I,m} \dot{\sigma}_{mj}$$ (12.125)

となる。ここで現配置を基準配置に一致させて得られるupdated Lagrange的なnominal応力速度$\dot{\fat{n}}$は

$$\dot{n}_{ij}\equiv \lim_{0\to t}\dot{S}^N_{IJ} =\dot{\sigma}... ...+\sigma_{ij} d_{kk} -d_{ik} \sigma_{kj}+w_{jk} \sigma_{ki}$$ (12.126)

で定義できる。 ただし，これは客観性を有していないし，対称テンソルでもない。 しかし，増分つり合い式を最も単純な形で表すことができるし， 変形の局所化等を考えるときには最も重要な応力速度である。

12.4.4 増分つり合い式

増分で定義した弾塑性材料のつり合いを考えるときは， 増分つり合い式を使う可能性^12.20がある。そこで，updated Lagrange的な 増分つり合い式を求めておこう。 最も単純なLagrange的なつり合い式はnominal応力を基にしたものであるから， 式(12.90)の運動方程式で慣性項を除いた項の時間変化率が

$$\dot{S}^N_{Ji,J} + \rho_0 \dot{\pi}_i = 0 \index{ぞうぶん��.. ...um equation (増分つり合い式)!Lagrangian -- (ラグランジュ的)}%$$ (12.127)

となることから，現配置で定義できるupdated Lagrange的な増分つり合い式は

$$\lim_{0\to t}\left( \dot{S}^N_{Ji,J} + \rho_0 \dot{\pi}_i =... ...�｢弔蟾腓ぜ��!-- of nominal stress rate (ノミナル応力速度の)}%$$ (12.128)

である。 ここでは$\dot{\fat{n}}$が非対称な応力速度テンソルであることには 十分注意すること。 これに対応する境界条件は式(12.83)によく似た

$$m_j \dot{n}_{ji}=\dot{t}_i, \quad \mbox{あるいは} \quad v_i=\mbox{与えられる}$$ (12.129)

となる。

ところで，Cauchy応力を用いた，次のような増分つり合い式は成立しない。

$$\dot{\sigma}_{ji,j} + \rho \dot{\pi}_i = \kern -1.1em\mbox{\Large ×} 0$$

式(12.126)のnominal応力速度とCauchy応力速度の関係を 式(12.128)の増分つり合い式に代入して整理すると

$$\dot{\sigma}_{ji,j}+\sigma_{ji,j} d_{kk}-v_{j,k} \sigma_{ki,j} +\rho \dot{\pi}_i=0$$

となるので，Cauchy応力を用いた増分つり合い式は

$$\dot{\sigma}_{ji,j}-v_{j,k} \sigma_{ki,j} +\rho \dot{\pi}_i+\sigma_{ji,j} d_{kk}=0$$

あるいは，式(12.82)のCauchy応力のつり合い式から慣性項を 除外したものを代入すれば

$$\dot{\sigma}_{ji,j}-v_{j,k} \sigma_{ki,j} +\rho \dot{\pi}... ...ation (増分つり合い式)!-- of Cauchy stress (コーシー応力の)}%$$ (12.130)

のように[110]なる。

12.4.5 応力の更新

増分計算をした場合のCauchy応力の更新は

$$\sigma_{ij}(t+\Delta t)=\sigma_{ij}(t)+\dot{\sigma}_{ij}(t)$$ (12.131)

で大丈夫^12.21だろうか。 力ばかりでなく力が生じている面の変化も 含んで定義されているCauchy応力を，このように単純に加算できるだろうか。 まず， $\sigma_{ij}(t)$は時刻$t=t$における単位面積で 定義されたCauchy応力である。これを更新するには，同じく$t=t$の 単位面積当たりの増分応力を足す必要がある。 それは前節のupdated Lagrange的なnominal応力速度 なので $\sigma_{ij}(t)+\dot{n}_{ij}(t)$が時刻$t=t$の単位面積当たりの 空間固定の基底ベクトル方向の，$t=t+\Delta t$における応力成分になる。 そしてそれは$t=t+\Delta t$におけるnominal応力に相当するので

$$S^N_{ij}(t+\Delta t;t)=\sigma_{ij}(t)+\dot{n}_{ij}(t)$$

と求められたことになる。現配置を基準配置にしたnominal応力なので， 引数のセミコロンの次に$t$と加筆し，添え字を小文字にした。 これを式(12.80)に代入すれば更新されたCauchy応力が

$$\sigma_{ij}(t+\Delta t)=\dfrac{\rho(t+\Delta t;t)}{\rho(t)}\... ...+v_{i,k}\right) \left(\sigma_{ij}(t)+\dot{n}_{ij}(t)\right)$$

で算定できることになる。 ここでも現配置を基準配置としているので$x_{i,k}$の添え字を小文字にしてある。 この式の各項に式(12.126) (12.114)を代入すると

$$\begin{eqnarray*} x_{i,k} S^N_{kj}= \left(\delta_{ik}+v_{i,k}\right) \left(\s... ...{lj} \right) =\sigma_{ij}+\dot{\sigma}_{ij}+\sigma_{ij} d_{kk} \end{eqnarray*}$$

であり

$$\dfrac{\rho(t+\Delta t;t)}{\rho(t)}= \left(\det\left\vert x_... ...ght\vert\right)^{-1} = \left(1+d_{kk}\right)^{-1} = 1-d_{kk}$$

を用いれば，最終的に

$$\sigma_{ij}(t+\Delta t)=\left(1-d_{kk}\right) \left(\sigma_... ...sigma_{ij} d_{kk}\right) =\sigma_{ij}(t)+\dot{\sigma}_{ij}(t)$$

となるので，式(12.131)が証明できたことになる。 もちろん速度（増分）の2次項はすべて無視できるものとしてあるので， 小さくない増分ステップで計算する場合には

$$\sigma_{ij}(t+\Delta t)=\dfrac{1}{ \det\left\vert\delta_{mn}... ...i,k}(t)\right\} \left\{\sigma_{kj}(t)+\dot{n}_{kj}(t)\right\}$$ (12.132)

を用いるべきである。 ただし，数値的に対称成分になるとは限らないことには注意が必要だ。

さて，この関係式(12.131)を元に，再度Cauchy応力を 用いた増分つり合い式を誘導しておこう。 まず簡単のために，仮に時刻$t$の空間固定座標での位置を$\xi_I(t)$としておき， その$\Delta t$後の位置を $x_i(t+\Delta t)$とすると，形式的に 式(12.131)は

$$\sigma_{ji}^{\Delta t}(\fat{x})= \sigma_{JI}(\fat{\xi})+\dot{\sigma}_{JI}(\fat{\xi})$$

と書くことができる。上付きの$\Delta t$は$t=t+\Delta t$での量を表している。 また大文字の$I$等は時刻$t$における座標$\fat{\xi}$を参照しているものとする。 これを微分すると

$$\sigma_{ji,j}^{\Delta t}=\sigma_{JI,j}+\dot{\sigma}_{JI,j} =... ...I,j} =\sigma_{JI,j}-\sigma_{JI,K} v_{K,j}+\dot{\sigma}_{JI,j}$$

となることから，時刻$t+\Delta t$におけるつり合い式は

$$\sigma_{ji,j}^{\Delta t}+\rho^{\Delta t} \pi_i^{\Delta t}=0... ..._{K,j}+\dot{\sigma}_{JI,j} +\rho^{\Delta t} \pi_i^{\Delta t}$$

となり，式(12.82)を右辺第1項に代入して$\Delta t\to 0$の 極限をとり，大文字の添え字を小文字に直してしまえば，これは

$$\dot{\sigma}_{JI,j}-\sigma_{JI,K} v_{K,j} +\left(\rho^{\D... ...i,j}-\sigma_{ji,k} v_{k,j} +\left(\rho \pi_i\right)\dot{}=0$$

と表すことができる。ここで式(12.59)の 関係を用いると

$$\left(\rho \pi_i\right)\dot{}=\dot{\rho} \pi_i+\rho \dot{\pi}_i =-\rho \pi_i d_{kk}+\rho \dot{\pi}_i$$

という関係が成り立つので，すぐ上の式は

$$\dot{\sigma}_{ji,j}-v_{j,k} \sigma_{ki,j} +\rho \dot{\pi}_i-\rho \pi_i d_{kk}=0$$

となり，結局式(12.130)と一致する。

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