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• E.5.1 運動場
• E.5.2 支配方程式
• E.5.3 断面力の変位表示
• E.5.4 安定問題

E.5 断面変形する薄肉円管梁理論

E.5.1 運動場

ここは第1著者の卒業論文の中身であるが，青焼きが消えそうなので ここに見える部分を写しておく。 手法はその当時よく用いられていたVlasov流のもので， 断面変形パターンを仮定した上で，仮想仕事の原理で支配方程式を求めるという ものである。$x$軸を円管の中心に置き，円管肉厚中心面に沿って$s$座標を， 中心面から中心向きに$n$座標を定義する。肉厚中心面の半径を$r_0$とし， 肉厚を$t$とする。ただし径厚比 $\slfrac{r_0}{t}$は大きい（薄い）ものとする。 極座標の($r,\psi$)との関係は，したがって$r=r_0-n$, $\dint s=r_0\dint\psi$となる。曲げは$x$-$z$面内で生じるものとすると， 梁理論の拡張であるから，ひずみ場に対する仮定はまず

$$E_{zx}=0, \qquad E_{zz}=0$$ (E.68)

である。断面変形に関しては，応力に対する推測が

$$S_{nx}=0, \quad S_{sn}=0, \quad S_{nn}=0, \quad S_{ss}^\ast=0, \quad \oint_s S_{sx}^\ast\dint s =0$$ (E.69)

でいいだろう。ここに上付きのアスタリスクは肉厚中心面上での値である ことを示す。これとHookeの法則を眺めた上で，ひずみ場の仮定は

$$E_{nx}=0, \quad E_{sn}=0, \quad E_{nn}=0, \quad E^\ast_{ss}=0, \quad \oint_s E^\ast_{sx}\dint s =0$$ (E.70)

でよさそうだ。

このひずみ場の仮定に対応する変位場は

$$u = u_0+\left(\overline\xi \sin\psi+ \overline\eta \cos\psi-r \cos... ...a+\bar{u} \cos\theta, \qquad v=\overline\xi \cos\psi-\overline\eta \sin\psi,$$

$$w = w_0+r \cos\psi+\left(\overline\xi \sin\psi+\overline\eta \cos\psi -r \cos\psi\right) \cos\theta-\bar{u} \sin\theta$$ (E.71)

となる。ここに上付きのバーは断面変形成分を表し，断面変形に関係する 変位の$s$, $n$, $x$方向成分を$\xi$, $\eta$, $u$とした。また$\theta$は たわみ角で，ここではせん断変形を無視しているので

$$\tan\theta=-\dfrac{w'_0}{1+u'_0}$$ (E.72)

という関係がある。ここにプライムは$x$に関する微分を表す。 この変位場が式(E.71)のひずみ場の仮定を満足するためには

$$\overline\xi = \overline\xi^\ast(\psi,x)-n \cos\alpha_1 \sin\alpha, \quad \ove... ...\bar{u}=-n \sin\alpha_1, \quad \dot{\overline\xi}{}^\ast-\overline\eta^\ast=0,$$

$$\tan\alpha(\psi,x)=\dfrac{\overline\xi^\ast+\dot{\overline\eta}{}... ...eta' \left(\overline\xi \sin\psi+\overline\eta \cos\psi-r \cos\psi\right)}$$ (E.73)

であればいい。ここに上付きドットは$\psi$に関する微分を表す。また

$$g_0\equiv (1+u_0')^2+(w_0')^2$$ (E.74)

と定義した。$\alpha$と$\alpha_1$は，断面変形によって肉厚が断面内と 長手方向に傾く角度である。

断面変形は，梁そのものの動きに比べればせいぜい断面寸法程度なので， ここでは微小と考えて線形化する。また，断面の変形パターンを 想定することによって変数分離をして

$$\overline\xi^\ast=r_0 f(x) \Phi_1(\psi), \qquad \overline\eta^\ast=r_0 f(x) \Phi_2(\psi)$$ (E.75)

のように置くことにする。力学的考察から$\Phi_2$は$\cos2\psi$が 主要な関数であることはわかる。それを用いて式(E.71)の ひずみ場の仮定に代入すれば$\Phi_1$が求められて，結局

$$\Phi_1=\dfrac12 \sin2\psi,\qquad \Phi_2=\cos2\psi$$ (E.76)

と求めることができる。つまり楕円形に変形するモードである。 これより$f$の高次項をすべて無視すれば

$$\tan\alpha\simeq\sin\alpha\simeq f \phi, \quad \tan\alpha_... ...ad \cos\alpha_1\simeq 1, \quad \phi\equiv \Phi_1+\dot{\Phi}_2$$ (E.77)

と近似できる。以上の考察から，変位場が

$$u(x,r,\psi) = u_0(x)+Z \sin\theta(x)-n r_0 f'(x) \Phi_2 \cos\theta(x)$$

$$w(x,r,\psi) = w_0(x)+r \cos\psi+Z \cos\theta(x)+n r_0 f'(x) \Phi_2 \sin\theta(x)$$ (E.78)

$$\xi(x,r,\psi) = w_0(x) \sin\psi+f(x) \left(r_0 \Phi_1-n \phi\right) +Z \sin\... ...,\left\{\cos\theta(x)-1\right\} +n r_0 f'(x) \Phi_2 \sin\psi \sin\theta(x)$$

$$\eta(x,r,\psi) = w_0(x) \cos\psi +r_0 f(x) \Phi_2+Z \cos\psi \left\{\cos\theta(x)-1\right\} +n r_0 f'(x) \Phi_2 \cos\psi \sin\theta(x)$$

と求められる。ただし$Z$は，断面変形で縮んだ 実質的な$z$方向の$x$軸からの距離( $z+(\mbox{断面変形})$)で

$$Z= \overline\xi \sin\psi+\overline\eta \cos\psi-r \cos\ps... ...t(r_0 \Phi_1-n \phi\right) \sin\psi +r_0 \Phi_2 \cos\psi$$ (E.79)

と定義した。すなわち，断面変形が無ければ基本的な未知関数は$u_0$, $w_0$の 二つの変位，つまり中立軸の面内の変位量のみが求めたい関数である。 そこに，式(E.76)で示されるように， あるパターン$\Phi_i$ ($i=1,2$)の 振幅$f(x)$をもう一つの未知関数として加えることによって， 断面変形の自由度を有する梁理論が定式化できたことになる。

E.5.2 支配方程式

以上の変位場を仮想仕事式（極座標系で表現されたものが必要）に代入すれば， すべての支配方程式を求められる。 通常の梁理論と違うのは，断面変形のパラメータ$f$が加わっていることで， この変分から，断面変形に関する付加的な「つり合い式」を得ることになる。 定式化は冗長なので（間違っているかもしれないから。呵呵）省略すると， つり合い式が

(E.80)

と求められる。一番上の式が，断面変形に関係したつり合い式である。 一方，境界条件は

$$f=\mbox{与える} \mbox{or} M_{sx}-M_f'+M_{Zf} \sin\theta-M_{Xf} \cos\theta=n_i \left\{ \b... ...f} (\cos\theta-1)+\bar{M}_{Xf} \sin\theta+\bar{M}_{sf} +\bar{M}_{nf} \right\}$$

$$f'=\mbox{与える} \quad\mbox{or}\quad M_f=n_i \left(\bar{M}_f \cos\theta-\bar{M}_{ff} \sin\theta\right)$$ (E.81)

$$u_0=\mbox{与える} \mbox{or} N \cos\theta+M'_{XZ} \sin\theta +\sin\theta \left( -m_{ZZ} \s... ...,\cos\theta-f' M_{Zf} \cos\theta -f' M_{Xf} \sin\theta \right)=n_i \bar{N}$$

$$w_0=\mbox{与える} \mbox{or} -N \sin\theta+M'_{XZ} \cos\theta +\cos\theta \left( -m_{ZZ} \... ...,\cos\theta-f' M_{Zf} \cos\theta -f' M_{Xf} \sin\theta \right)=n_i \bar{V}$$

$$\theta=\mbox{与える} \mbox{or} M_{XZ}=n_i \left( \bar{M}_{XZ} \cos\theta-\bar{M}_{ZZ} \sin\theta-f' \bar{M}_f \sin\theta -f' \bar{M}_{ff} \cos\theta \right)$$

となる。最初の二つの式が断面変形に関する境界条件である。

各断面力は次のように定義した。

$$N \equiv \int_A \sigma \dint A, \quad M_{XZ}\equiv\int_A\sigma Z\dint A, ... ...ht)\dint A, \quad M_f\equiv \int_A \sigma \left(-n r_0 \Phi_2\right)\dint A,$$

$$P_{ss}\equiv\int_A S_{ss} \left(-\dfrac{n}{r} \dot{\phi}\right)... ... \Phi_1-n \left(\dot\phi+\dfrac{r_0}{r} \dot{\Phi}_2 \right) \right\}\dint A$$ (E.82)

また外力については，物体中の分布外力を$X_{x}$, $X_{z}$で定義し， 端面の表面外力を$F_{s}$, $F_{n}$, $F_{x}$と定義した上で， 次のように定義した。

$$p_z \equiv \int_A X_{z}\dint A, \quad p_x\equiv\int_A X_{x}\dint A, \quad m_... ...m_{xz}\equiv\int_A X_{x} z\dint A, \quad m_{Zf}\equiv\int_A X_{z} Z_f\dint A,$$

$$m_{Xf}\equiv\int_A X_{x} Z_f\dint A, \quad m_{ZZ}\equiv\int_A X_... ... A=m_{zz}+f m_{Zf}, \quad m_{XZ}\equiv\int_A X_{x} Z\dint A=m_{xz}+f m_{Xd},$$

$$M_{Zf}\equiv\int_A X_{z} (-n r_0 \Phi_2)\dint A, \quad M_{Xf}\equiv\int_A X_{x} (-n r_0 \Phi_2)\dint A,$$ (E.83)

$$\bar{N} \equiv \int_A F_{x}\dint A,\quad \bar{M}_{xz}\equiv\int_A F_{x} z\dint ... ...A, \quad \bar{M}_{XZ}\equiv\int_A F_{x} Z\dint A=\bar{M}_{xz}+f \bar{M}_{Xf},$$

$$\bar{M}_f\equiv\int_A F_{x} \left(-n r_0 \Phi_2\right)\dint A, \quad \bar{V}\equiv\int_A \left( F_{s} \sin\psi+F_{n} \cos\psi\right)\dint A,$$

$$\bar{M}_{zz}\equiv\int_A \left( F_{s} \sin\psi+F_{n} \cos\psi\r... ...{M}_{Zf}\equiv\int_A \left( F_{s} \sin\psi+F_{n} \cos\psi\right) Z_f\dint A,$$

$$\bar{M}_{ZZ}\equiv\int_A \left( F_{s} \sin\psi+F_{n} \cos\psi\r... ...( F_{s} \sin\psi+F_{n} \cos\psi\right) \left(-n r_0 \Phi_2\right)\dint A,$$

$$\bar{M}_{sf}\equiv\int_A F_{s} \left(r_0 \Phi_1-n \phi\right)\dint A, \quad \bar{M}_{nf}\equiv\int_A F_{n} \left(r_0 \Phi_2\right)\dint A.$$

E.5.3 断面力の変位表示

定義に応力ひずみ関係を代入すれば，断面力を変位および 断面変形のパラメータ$f$で表現できる。 ただし，微小ひずみの仮定から軸方向の伸びひずみ$e$を

$$e\simeq \epsilon+Z \theta'-n r_0 \Phi_2 f'', \qquad \ep... ...ac12 \left\{\left(u_0'\right)^2 +\left(w_0'\right)^2\right\}$$ (E.84)

と近似した上で，応力ひずみ関係を

$$\sigma=Ee, \qquad S_{ss}=E E_{ss}, \quad E_{ss}=-f\dfrac{... ...x}=r_0f'\Phi_1-nf'\left( \phi+\dfrac{r_0}{r}\dot\Phi_2\right)$$ (E.85)

と仮定した。ここに$E$はYoung率で, $G$はせん断弾性係数である。 これを用いて断面力と変位の関係をまとめると

$$N = EA \left(u_0'+\dfrac12\left\{\left(u_0'\right)^2+ \left(w_0'\right)^2\right\}\right), \quad A\equiv\int_A\dint A=2\pi r_0 t,$$

$$M_{XZ} = EI_{ZZ} \theta', \quad I_{ZZ}\equiv\int_A Z^2\dint A=\pi r_0^3 t-f \dfrac{3\pi r_0^3 t}{2},$$

$$P_{ss} = EA_1 f, \quad A_1\equiv\int_A \left(-\dfrac{n}{r} \dot{\phi}\right)^2\dint A =\dfrac{3\pi t^3}{4r_0},$$ (E.86)

$$M_{sx} = GI_s f', \quad I_s\equiv\int_A \left\{r_0 \Phi_1-n \left(\phi+ \dfrac{r_0}{r} \dot{\Phi}_2\right)\right\}^2\dint A=\dfrac{\pi}{4}r_0^3 t,$$

$$N_f = EI_1 \left(\theta'\right)^2, \quad I_1\equiv\int_A Z_f Z\dint A = -\dfrac{3\pi r_0^3 t}{4} +f \dfrac{5\pi r_0^3 t}{8},$$

$$M_f = EI_2 f'', \quad I_2\equiv\int_A \left(-n r_0 \Phi_2\right)^2\dint A= \dfrac{\pi r_0^3 t^3}{12}$$

となる。

最終的に以上の関係をつり合い式に代入すると，$f$については4階の 常微分方程式になる。これは$f$そのものと$f'$の境界条件が規定されている こととも対応している。したがって，ここでは示さないが， 以上の支配方程式に対応する仮想仕事式に戻って，$f$にも適切な 「変位関数」を仮定すれば，有限要素の定式化もできる。$f$も$w$と 同様の3次の多項式が相応しいと考えられる。

E.5.4 安定問題

図 E.2: 等曲げで断面変形する単純梁

例として，等曲げを受ける単純梁を対象としよう。ただし， ダイアフラムを付けず，自由に断面変形できるようにする。 等曲げだから，モーメントと断面変形は$x$方向には一定と考えていい。 そうすると，つり合い式(E.81a)は

$$\left(6+5 \dfrac{\kappa^2 r_0^4}{t^2}\right) f= 6 \dfrac{\kappa^2 r_0^4}{t^2}$$ (E.87)

となる。ここに$\kappa$は曲率$(\theta')$である。 ここで無次元曲率と無次元外力モーメントを

$$\bar{k}\equiv \dfrac{\kappa r_0^2}{t}, \qquad \bar{m}\equiv \dfrac{\bar{M}}{\pi E r_0 t^2}$$ (E.88)

と定義しておく。 式(E.87)のモーメントと変形の関係から， 無次元外力モーメントは

$$\bar{m}=\bar{k} \left(1-\dfrac{3f}{2}\right)$$ (E.89)

となる。したがって，式(E.88) (E.90)から 外力モーメントと曲率の関係は

$$\bar{m}=\bar{k} \left(1-\dfrac{9\bar{k}^2}{6+5\bar{k}^2}\right)$$ (E.90)

と求められる。この結果は図-6.16ある いは図-E.2のようになる。

これに対し，輪を扁平にしていく解析と曲げを連成させて 解析した研究[63]がある。そこで求められている断面変形を ここで用いた変位成分で表すと

$$\dfrac{\overline\xi^\ast}{r_0}= \left(\dfrac{k_0}{2}+\dfrac... ...i+3\right), \quad k_0\equiv \left(1-\nu^2\right) \bar{k}^2$$ (E.91)

のように，曲率の高次項までが入った解になっている。 これと式(E.76)を比較すれば明らかなように，1次項は ここのアプローチと一致している。

表 E.2: 等曲げで扁平になる単純梁の最大外力モーメント

	本解析手法		Reissnerの結果
	1次項のみ	2次項まで	3次項まで	数値解析
$\bar{m}\subsc{max}$	0.351	0.296	0.289	0.307
$\bar{k}\sub{cr}$	0.576	0.437	0.416	0.441

そこで，式(E.92)のReissnerの解を 参考にして，$k_0$をここで導入した断面変形のパラメータ$f$で置き換え

$$\dfrac{\overline\xi^\ast}{r_0} = \dfrac12 f\sin2\psi+\dfrac{3}{16} f^2 \sin4\psi$$ (E.92)

$$\dfrac{\overline\eta^\ast}{r_0} = f \cos2\psi+\dfrac{3}{16} f^2 \left(\cos4\psi+3\right)$$

のような断面変形を仮定しよう。そうした上で，仮想仕事の原理から始めて 再度定式化し，つり合い式を解くと

$$f=\dfrac{16}{45\bar{k}^2} \left\{ \dfrac{\bar{k}^2}{2}-\dfr... ...}{16}-\dfrac{3\bar{k}^2}{4}+\dfrac{143\bar{k}^4}{32} }\right\}$$ (E.93)

となる。このとき断面力と変形の関係は

$$\bar{m}=\bar{k} \left(1-\dfrac{3 f}{2}-\dfrac12 f^2\right)$$ (E.94)

となるので，この式(E.94) (E.95)から， 式(E.91)より若干柔らかい応答が予測される。 そのようにして得た結果が図-E.2の「2次」であり， 最大外力曲げモーメントを文献の結果等と 比較したのが表-E.2である。

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