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つり合い式の基本的な弱形式は,式(D.7)のつり合い式から
と書くことができるから,部分積分をして境界条件式(D.8)を代入すると
となる。これに式(D.3)を
考慮して式(D.5)を代入すると,最終的な仮想仕事式
が
となる。内力仮想仕事項は式(D.3)を考慮すると
とも表すことができる。
式(D.12)を見る限りは要素内一定,は1次
多項式でよさそうだ。
したがって式(D.3)を考慮すればには2次多項式で
いいことになる。
これで四つの未定係数で, を表すことができ,節点での
連続条件を満足すべき四つの, を係数とする
変位関数が仮定できる。
しかし式(D.13)を見ると,
これでは被積分関数第2項のの微係数が落ちてしまう。
だからといってに1次の多項式を仮定すると
未定係数の数が一つ増え,
後述の高次要素と同じような煩雑さを伴う。
ただこの第2項は曲げの項であり,の貢献は
主に第1項であろうから,
思い切ってこの最も簡単な変位関数を採用して試してみよう。
つまり
と置く。これを式(D.13)に代入して剛性行列
を求めると
となる。
ところでTimoshenko梁理論はBernoulli-Euler梁の拡張理論で あり,の極限で各基礎式は初等梁理論のそれに整合する はずである。しかし式(D.14)の剛性 行列は,の極限で式(5.24)にはならない。 しかも式(D.14)を用いた有限要素解析による 数値解は,要素数を非常に多く用いなければならない等, 厳密解への収束が非常に遅い[38]こともわかっている。
たわみで表したつり合い式(D.9)を見ると
明らかなように,最も重要な項は初等梁理論と同様,たわみ
についての4階の微係数であった。したがって,に対しては3次の
多項式を用いるのが望ましいことは明らかであったが,前節では
故意に簡単な要素を誘導してみた。
そこでここでは,については定数として
と置いてみよう。ここには式(5.21)で定義した
多項式であり,新たに
と定義した。
ここでもを定数と置いているから,式(D.13)の 被積分関数第2項のの微係数が落ちてしまう。しかし, 式(D.15)のの方の 変位関数表現にの項があることから, 少なからずせん断変形の影響がこの第2項にも及ぶことが期待できる。 またを1次多項式にしても,実は求められる剛性方程式が同じに なることは,ちょっと面倒な演算で示すことができる。
式(D.15)を式(D.12)に代入して「要素」剛性方程式を
求めると
となる。
なお簡単のためにこの章では,括弧無しの太字で行列を表している。
ここでは式(5.22a) (5.24)で
定義された初等梁の剛性行列であり, (=1〜4)は
式(5.22b)で定義された等価節点外力である。やの
具体的な表現は省略するが
と定義した。なお簡単のためにこの章では括弧無しの太字で行列を
表している。剛性方程式()の第5行目の式は,境界条件から判断して
左辺の外力に相当する部分が零になっており,これは要素剛性方程式の
レベルでの余剰な自由度に対する付帯条件と
考えなければならない。つまり式(D.8)の境界条件
から判断しては要素間で連続になる必要が無いから,
式()の形でを剛性方程式に残しておく必要はなくなる。
したがって,式()第5行目からを計算してしまい,
それを残りの行に代入して剛性行列の縮約を行う。第5行目の式は
となる。便宜上
と置いた。式()を式()の上4行右辺に代入すると
であり, は式(4.85a)で定義したパラメータ である。 この がせん断変形の影響の程度を代表するパラメータであり, せん断変形を無視する場合には前述のように せん断抵抗係数と考えればいいから, と なる。 のとき,式(D.18c)は 式(5.24)の初等梁理論の剛性行列に一致する。 実は式(D.17)はマトリックス構造解析 の基礎式としての 厳密な剛性方程式に一致する。したがって当然のことであるが, 式(D.9) (D.10)で表した支配方程式から 有限要素定式化しても同じ剛性方程式(D.17)が求められる。 この節を高次要素と題したが,以上のような意味ではこの要素の方が 有限要素法として適正なものと言えよう。