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最も基本的な例として,図-8.6の4辺共に 単純支持された矩形板を解く。 任意の分布外力が作用した矩形板の場合ので 表されたつり合い式は,式(8.22)で与えられている。 境界条件は式(8.24)から
となる。力の境界条件はどちらもモーメントが作用していない
条件で,モーメントと変位の関係式(8.15)を代入すると,
例えば
の辺では
となる。しかし,この
の辺上ではを方向にも
保持しているからは零である。
したがって上式の第2項は実質的に考える必要が無い。
このように考えると,たわみで表した境界条件は
と考えていい。
式()の境界条件のもとで式(8.22)の
つり合い式を解けばいいが,ここでは境界条件を満足する関数を
用いて,たわみを
のように級数で仮定する。sine関数を選んだのは, 境界条件式()を すべて満足するからである。節-4.7.2で 梁の振動問題を解くのに用いた固有関数法によく似ている。 (工学的に)ほとんどすべての滑らかな関数はFourier級数で 表示できることを根拠にして,2重Fourier級数 で展開したと考えてもいい。これをNavierの解法 と呼んでいる。
この仮定した解()を式(8.22)の
つり合い式に代入すると
となる。この両辺に
という演算(内積あるいは仮想仕事の算定)を行おう。
このsine関数は節-4.7.2でも
示したように,例えば
という性質(直交性)を持っている。
したがって,上の積分演算を実行すると
左辺の級数は実は, の場合の1項のみしか残らず,
他はすべて零になる。よって個々のに対して
が成立しなければならない。ここに
と置いた。式()より
と係数を得るから,式()に代入し直せば解を得る。 結果的には関数の2重sine Fourier係数に相当する。
分布外力が一様で
の場合には式()より
となる。したがって
となる。図-8.7には
にのみ
のような 偏在する分布外力を作用させたときの同様の解を,特徴が 出るように誇張して示しておいた。図では, 共に級数の 最初の10項までで打ち切った結果を用いた。