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I.2 1次元の力学との簡単な連成

図 I.2: 棒の伸びと接触
\begin{figure}\begin{center}
\unitlength=.25mm
\begin{picture}(181,215)(100,-5)
...
...string)
\put(108,1){{\normalsize\rm O}}
%
\end{picture}\end{center}
\end{figure}

もう一つ面白い問題がある。アメリカ合州国Illinois州Evanston, Northwestern大学Dundurs教授(1980年頃)の`Elasticity'の 講義ノートにある問題である。図-I.2のように, 長さ$a$の棒の左端が温度$T\subsc{l}$になっていて, この温度を0度から徐々に上げていくことにする。 右の壁の温度は$T\subsc{r}=0$度で,$T\subsc{l}=0$の 状態での棒の右端と右の壁との間には隙間$g$があるものとする。

いわゆる1次元のHookeの法則式(3.116)に, 非弾性ひずみ(塑性ひずみと同じようにI.1扱っていい)として温度膨張ひずみを 考慮すると,Hookeの法則は

\begin{displaymath}
\sigma_{xx}=E \left(\epsilon_{xx}-\epsilon^T\right), \quad
\epsilon^T(x,t)=\alpha u(x,t)
\end{displaymath} (I.13)

になる。ここに$\epsilon^T$は温度膨張ひずみであり,$u$は初期状態からの 温度増加分である。$E$はYoung率で$\alpha $線膨張係数 であり,材料の定数である。 右端がまだ壁に接触する前は,棒中の温度は一様で$T\subsc{l}$に等しい。 右端が壁に接触したときには,伸び変位が$g$になったときなので, そのときの温度$T_0$

\begin{displaymath}
\epsilon^T a=g, \quad
\epsilon^T=\alpha T\subsc{l} \quad\to\quad
T\subsc{l}=T_0\equiv \dfrac{g}{a \alpha}
\end{displaymath} (I.14)

のように求められる。

一方,$T\subsc{l}$を非常に大きな値に固定して, かつ右端が壁に接触した状態を保持し続けられた場合には, 定常状態では図-I.2の一番下のような 線形の温度分布になるだろう。したがって

\begin{displaymath}
u(x,t)=T\subsc{l}\left(1-\dfrac{x}{a}\right) \quad\to\quad
\epsilon^T=\alpha T\subsc{l}\left(1-\dfrac{x}{a}\right)
\end{displaymath}

であり,式(I.13)から

\begin{displaymath}
\epsilon_{xx}=\dfrac{\sigma_{xx}}{E}
+\alpha T\subsc{l}\left(1-\dfrac{x}{a}\right)
\end{displaymath}

となる。このとき,棒の途中には外力は存在しないので, 応力は$x$方向に一定の圧縮になるから $\sigma_{xx}=-p$とすれば

\begin{displaymath}
\epsilon_{xx}=-\dfrac{p}{E}
+\alpha T\subsc{l}\left(1-\dfrac{x}{a}\right)
\end{displaymath}

となる。この温度膨張ひずみによる棒の伸びは隙間の$g$に等しいから

\begin{displaymath}
g=\int_0^a \epsilon_{xx}\dint x
=-\dfrac{p a}{E}+\dfrac{a \alpha T\subsc{l}}{2}
\end{displaymath}

という関係が成立している。 そこで,左壁の温度を徐々に下げていき,右端が壁から離れる時点の 温度$T_1$を求めると,それは$p=0$のときに相当するので,上式から

\begin{displaymath}
\dfrac{p a}{E}=\dfrac{a \alpha T_1}{2}-g=0 \quad\to\quad
T_1=\dfrac{2g}{a \alpha}=2 T_0
\end{displaymath} (I.15)

となり,式(I.14)の$T_0$の2倍になっていることがわかる。

この結果は面白いでしょう。つまり,では

\begin{displaymath}
T_0 < T\subsc{l} < T_1
\end{displaymath}

の間には,一体何が起こっているのかということだ。 多分容易に想像がつくと思うが, $T\subsc{l}=T_0$で右端が接触した途端 右端の温度は0度になるから,熱伝導によって 棒はすぐに縮んで接触を失うことになる。 そこで,左壁の温度を$T_0$から$U(t)$だけ上げ続けることにして, 棒が(理想的に)右端で壁に接触して,棒に圧縮応力が生じた状態を 保持できたとすると,棒中の温度分布は一定から線形分布に徐々に変化していく。 もしそういうことが可能なら,その熱伝導問題は,$g«a$と近似できる場合

\begin{displaymath}
\D{u}{t}=\dfrac1k \D[2]{u}{x}, \quad
\dfrac{p(t) a}{E}=\alpha \int_0^a u \dint x - g \ge 0, \quad
0<x<a, \quad 0<t
\end{displaymath} (I.16)

という問題を

\begin{displaymath}
u(0,t)=T_0+U(t), \quad u(a,t)=0, \quad u(x,0)=T_0, \qquad\mbox{ただし}\quad
U(0)=0, \quad U(\infty)=T_0
\end{displaymath} (I.17)

の条件で解けばいい。 しかし,どんなに急に温度を上げても軸力$p(t)$は負になり, 結局右端では接触・非接触の振動が生じることになる。

「どんお」問題についての講義ノート:省略


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Iwakuma Tetsuo
Mon, 18 Feb 2013 12:50:55 +0900 : Stardate [-28]8120.80