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• 11.3.1 Rayleigh波
• 11.3.2 Love波

11.3 表面波

11.3.1 Rayleigh波

図 11.12: Raileigh波

図-11.12のように，$x_1$方向に進む波であるが， その振幅が$x_2$方向に向かって指数関数的に小さくなるような波が 存在できるかどうかについて考えてみよう。 ここでは$x_2$は下向きを正にしてあり，$x_2=0$の水平面は自由表面とする。 この運動に対応した変位成分

$$u_1 = A \exp\left(-b x_2\right) \exp\left\{\mbox{i} k \left(x_1-c t\right)\right\},$$ (11.56)

$$u_2 = B \exp\left(-b x_2\right) \exp\left\{\mbox{i} k \left(x_1-c t\right)\right\}, \quad u_3=0$$

の存在の可能性を検討しようとしている。 ただし，深くなるほど振幅は小さくなるものと考えるため，少なくとも

$$\Re(b)>0$$ (11.57)

でなければならない。ここに$\Re(\cdot)$は実数部を表す。

境界条件は$x_2=0$で$\sigma_{22}=0$, $\sigma_{21}=0$であるから， ひずみの定義とHookeの法則を用いれば

$$\left(\lambda+2\mu\right) u_{2,2}+\lambda u_{1,1}=0, \quad \mu \left(u_{1,2}+u_{2,1}\right)=0$$ (11.58)

になる。また運動方程式は式(11.15)から

$$\left(\lambda+\mu\right) \left(u_{1,1}+u_{2,2}\right)_{,1} +\mu\left(u_{1,11}+u_{1,22}\right) = \rho \ddot{u}_1,$$

$$\left(\lambda+\mu\right) \left(u_{1,1}+u_{2,2}\right)_{,2} +\mu\left(u_{2,11}+u_{2,22}\right) = \rho \ddot{u}_2$$ (11.59)

である。式(11.56)を式(11.59)に 代入して $\exp\left\{\mbox{i} k \left(x_1-c t\right)\right\}$の 係数同士を比べると

$$\begin{eqnarray*} && \left(\lambda+\mu\right) \mbox{i} k \left\{\mbox{i} k... ...-b\right)^2\right\} B =\rho \left(-\mbox{i} k c\right)^2 B \end{eqnarray*}$$

が成立しなければならない。したがって

$$\begin{eqnarray*} && \left(\lambda+\mu\right) \left\{-k^2 A-\mbox{i} k b B\... ...^2 B\right\} +\mu \left(b^2-k^2\right) B+\rho k^2 c^2 B=0 \end{eqnarray*}$$

つまり

$$\left(\begin{array}{cc} -k^2 \left(\lambda+\mu\right)+\mu\... ...\right\}=\left\{\begin{array}{c} 0 0 \end{array}\right\}$$ (11.60)

でなければならない。右辺が零なので，解が存在するためには， この式の係数行列が特異でなければならない。つまり

$$\det\left\vert\begin{array}{cc} -k^2 \left(\lambda+2\mu\ri... ...a+2\mu\right)-\mu k^2+\rho k^2 c^2 \end{array}\right\vert=0$$

に$c\subsc{l}$と$c\subsc{t}$の定義を用いれば

$$\det\left\vert\begin{array}{cc} -k^2 c\subsc{l}^2+b^2 c\s... ...subsc{l}^2-k^2 c\subsc{t}^2+k^2 c^2 \end{array}\right\vert=0$$

であればいいことになる。これを整理すると

$$\left\{c\subsc{t}^2 b^2-k^2 \left(c\subsc{t}^2-c^2\right)\... ...subsc{l}^2 b^2-k^2 \left(c\subsc{l}^2-c^2\right)\right\}=0$$ (11.61)

を満足するような$c$と$b_1$, $b_2$が存在すれば，表面波の存在が可能になる。 この式から，まず

$$b_1=k\sqrt{1-\dfrac{c^2}{c\subsc{l}^2}}, \quad b_2=k\sqrt{1-\dfrac{c^2}{c\subsc{t}^2}}$$ (11.62)

という関係が成立する。 $c\subsc{l}>c\subsc{t}$であり， 式(11.57)のように$\Re(b)>0$でなければならないことから， この式(11.62)の形は

$$c<c\subsc{t}<c\subsc{l}$$

であることを示唆している。 式(11.60)も$c\subsc{l}$, $c\subsc{t}$を用いて書き直すと

$$\dfrac{B}{A}= \dfrac{k^2 \left(c^2-c\subsc{l}^2\right)+b^2\... ...ight)}% {k^2 \left(c^2-c\subsc{t}^2\right)+b^2 c\subsc{l}^2}$$

とも書き表すことができるので，これに式(11.62)を代入すると

$$\left(\dfrac{B}{A}\right)_1=\dfrac{\mbox{i} b_1}{k}=-\dfrac... ...A}\right)_2=-\dfrac{k}{\mbox{i} b_2}=\dfrac{\mbox{i} k}{b_2}$$

と求められる。この関係を用いると，変位成分は

$$u_1 = \left\{A_1 \exp\left(-b_1 x_2\right)+A_2 \exp\left(-b_2 x_2\right)\right\} \exp\left\{\mbox{i} k \left(x_1-c t\right)\right\}$$ (11.63)

$$u_2 = \left\{-\dfrac{b_1}{\mbox{i} k} A_1 \exp\left(-b_1 x_2\right)... ...b_2 x_2\right)\right\} \exp\left\{\mbox{i} k \left(x_1-c t\right)\right\}$$

と求められる。

あとは波の速さ$c$を決定すればいいわけだが，その方程式は境界条件から 求めることができる。つまり，式(11.63)を 境界条件式(11.58)に代入すれば

$$\left(\lambda+2\mu\right) \left\{\dfrac{b_1^2}{\mbox{i}\... ...b_1}{\mbox{i} k} A_1+\dfrac{\mbox{i} k}{b_2} A_2\right\}=0$$

となり，$c\subsc{l}$, $c\subsc{t}$を用いると

$$c\subsc{l}^2 \left\{ k \left(1-\dfrac{c^2}{c\subsc{l}^2}\... ...0, \quad -2 b_1 A_1-\left(b_2+\dfrac{k^2}{b_2}\right) A_2=0$$

と書き換えられる。これを整理すると

$$\left(2 c\subsc{t}^2-c^2\right) A_1+2 c\subsc{t}^2 A_2=0... ...dfrac{k^2}{b_2}\left(2-\dfrac{c^2}{c\subsc{t}^2}\right) A_2=0$$

と書き表すことができる。つまり

$$\left(\begin{array}{cc} 2-\dfrac{c^2}{c\subsc{t}^2} & 2 b_... ...y}\right\}= \left\{\begin{array}{c} 0 0 \end{array}\right\}$$

が$A_1$, $A_2$として意味のある解を与えれば，表面波が存在できることになる。 したがって，この上式の係数行列が特異になる条件から

$$k^2 \left(2-\dfrac{c^2}{c\subsc{t}^2}\right)^2-4 b_1 b_2=... ...ac{c^2}{c\subsc{l}^2}} \sqrt{1-\dfrac{c^2}{c\subsc{t}^2}}=0$$

つまり

$$R(c)\equiv 4 \sqrt{1-\dfrac{c^2}{c\subsc{l}^2}} \sqrt{1-... ...}{c\subsc{t}^2}} -\left(2-\dfrac{c^2}{c\subsc{t}^2}\right)^2=0$$ (11.64)

が成立しなければならない。この式の解$c$がRayleigh波の 速さ$c\subsc{r}$である。ここで $0<\varepsilon\ll 1$に対して

$$R(c\subsc{t})=-1<0, \quad R(\varepsilon c\subsc{t})= 4\sqrt... ...arepsilon^2\left(1-\dfrac{c\subsc{t}^2}{c\subsc{l}^2}\right)>0$$

であることから， $0<c<c\subsc{t}$に少なくとも一つの 実数解$c\subsc{r}$を持つことが期待できる。 さらに複素関数論における「偏角の原理 ^11.5」から，$R(c)=0$は2個の実数解しか 持たないことが証明でき，$R(c)$が$c^2$の 関数であることから，その2個は符号のみが異なる二つの解であることがわかる。 したがって，Rayleigh波の速さは

$$0<c\subsc{r}<c\subsc{t}<c\subsc{l}$$ (11.65)

を満たすものとして唯一に決定できる。 このような表面波は，地震が終わったあとに地球を一周して到達することがあると されている。

11.3.2 Love波

前節のRayleigh波はSV波的な表面波であったが， では，表面SH波は存在するだろうか。式(11.56)と 同様の面外変位を

$$u_3=A \exp\left(-b x_2\right) \exp\left\{\mbox{i} k \left(x_1-c t\right)\right\}$$

と設定して確かめてみよう。運動方程式で意味のあるのは$x_3$方向の

$$\mu \left(u_{3,11}+u_{3,22}\right)=\rho \ddot{u}_3$$ (11.66)

のみであるから，これに上式を代入して $c\subsc{t}^2=\slfrac{\mu}{\rho}$を 考慮すると， $\exp\left(-b x_2\right) \exp\left\{\mbox{i} k \left(x_1-c t\right)\right\}$の係数同士の 等価性から

$$-k^2 A +b^2 A =-\dfrac{k^2 c^2}{c\subsc{t}^2} A \quad\to... ...ght\} A=0 \quad\to\quad b=k\sqrt{1-\dfrac{c^2}{c\subsc{t}^2}}$$ (11.67)

と求められる。また，境界条件は$x_2=0$で$\sigma_{23}=0$つまり$u_{3,2}=0$で あるから

$$u_{3,2}(x_2=0)=-b A \exp\left\{\mbox{i} k \left(x_1-c t\right)\right\}=0$$

となり，$A\neq 0$であるためには

$$b=0$$

しかあり得ないことになる。つまり，面外波の表面波は存在しないことになる。

図 11.13: Love波

しかし，もし図-11.13のように表面近くに 材料特性が異なる層が存在した場合には，面外の表面波が存在し得ることが わかっている。 そのような波をLove波と呼ぶ。そこで，変位を

$$u_3=\left\{\begin{array}{ll} f(x_2) \exp\left\{\mbox{i} k... ... k \left(x_1-c t\right)\right\}, & x_2>0 \end{array}\right.$$ (11.68)

と仮定する。ここに$b$と$c$は式(11.67)を満足しているものとする。 境界条件は

$$u_{3,2}(x_2=-H)=0$$ (11.69)

であり，$x_2=0$における$u_3$と$\sigma_{32}$の 連続条件は， $$\lim_{0\le\epsilon\to 0}$$に対して

$$u_3(0+\epsilon)=u_3(0-\epsilon), \quad \mu u_{3,2}(0+\epsilon)=\mu_B u_{3,2}(0-\epsilon)$$ (11.70)

で与えられる。運動方程式は式(11.66)を書き直して

$$u_{3,11}+u_{3,22}=\dfrac{1}{c\subsc{t}^2} \ddot{u}_3, \quad... ...c{1}{\left(c^B\subsc{t}\right)^2} \ddot{u}_3, \quad 0>x_2>-H$$ (11.71)

である。 ここに$c^B\subsc{t}$は表層の波速で

$$c^B\subsc{t}\equiv\sqrt{\dfrac{\mu_B}{\rho_B}}$$ (11.72)

と定義した。

まず$x_2>0$の運動方程式に式(11.68)の第2式を代入すると， 式(11.67)が求められる。 次に層の中を考えよう。式(11.68)の第1式を式(11.71)に 代入すると

$$\left\{-k^2 f(x_2)+f''(x_2)\right\} \exp\left\{\mbox{i}\... ...,f(x_2) \exp\left\{\mbox{i} k\left(x_1-c t\right)\right\}$$

となるので，$f(x_2)$は

$$f''+q_B^2 f=0, \quad q_B\equiv k\sqrt{\left(\dfrac{c}{c^B\subsc{t}}\right)^2-1}$$ (11.73)

を満足しなければならない。 したがって $f(x_2)= B_1 \sin\left(q_B x_2\right)+B_2 \cos\left(q_B x_2\right)$と求められ

$$u_3=\left\{ B_1 \sin\left(q_B x_2\right)+B_2 \cos\left(q_... ... \right\} \exp\left\{\mbox{i} k\left(x_1-c t\right)\right\}$$ (11.74)

を得る。 次に$x_2=-H$における境界条件にこの解を代入すると

$$u_{3,2}(x_2=-H)= q_B \left\{B_1 \cos\left(q_B H\right)+B_... ...ight\} \exp\left\{\mbox{i} k\left(x_1-c t\right)\right\}=0$$

から

$$B_1 \cos\left(q_B H\right)+B_2 \sin\left(q_B H\right)=0$$ (11.75)

を満足しなければならない。

また$x_2=0$における連続条件は，式(11.70)に 式(11.68)の第2式と式(11.74)を 代入して， $\exp\left\{\mbox{i} k\left(x_1-c t\right)\right\}$の係数同士を 比べれば

$$B_2=A, \quad \mu_B q_B B_1=-\mu b A$$ (11.76)

になる。したがって，式(11.75) (11.76)から$A$を 消去した残りの2式を並べると

$$\left(\begin{array}{cc} \mu_B q_B & \mu b \cos\left(q_B... ...y}\right\} =\left\{\begin{array}{c} 0 0 \end{array}\right\}$$

となるから，意味のある$B_1$, $B_2$が存在する条件が

$$\mu b \cos\left(q_B H\right)-\mu_B q_B \sin\left(q_B H... ...\to \quad \tan\left(q_B H\right)-\dfrac{\mu b}{\mu_B q_B}=0$$

となる。これに式(11.67) (11.73)の$b$と$q_B$を 代入して得られる

$$L(c)\equiv \tan\left\{k H \sqrt{\left(\dfrac{c}{c^B\subsc{... ...2}}% {\mu_B\sqrt{\left(\dfrac{c}{c^B\subsc{t}}\right)^2-1}}=0$$ (11.77)

が，Love波の速さ$c$を決定する方程式になる。 $c\subsc{t}>c^B\subsc{t}$のとき 式(11.77)は

$$L(c=c\subsc{t})= \tan\left\{k H\sqrt{\left(\dfrac{c}{c^B\su... ...t}}\right)^2-1}\right\}>0,\quad L(c\to c^B\subsc{t}) = -\infty$$

となるので， $c^B\subsc{t}<c<c\subsc{t}$に一つの解が 存在することが期待できる。

この結果は，いままでの位相速度が持つ特徴とは かなり違っていることに気付いて欲しい。 平面波やRayleigh波の場合には，位相速度$c$は波の 波数$k$あるいは周波数 $\omega\equiv k c$とは独立であった。 しかしLove波の場合は，式(11.77)から 明らかなように，$c$が$k$の関数になる。したがって，複数の異なる波数で できたLove波が伝播するときには，波数毎に異なる位相速度で伝わるため， 最初の波の形が崩れながら移動することになる。 このような波は分散的 であると呼ばれる。

図 11.14: 拘束された表面がある半無限領域における平面波と表面波

1. 図-11.14の左に示したように，半無限領域の・・・ 文献[1]の問題から。
2. 図-11.14の右に示したように，半無限領域の・・・ 文献[1]の問題から。

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