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11.3 表面波


11.3.1 Rayleigh波

図 11.12: Raileigh波
\begin{figure}\begin{center}
\unitlength=.25mm
\begin{picture}(149,149)(220,-5)
...
...tring)
\put(262,110){{\normalsize\rm O}}
%
\end{picture}\end{center}\end{figure}

図-11.12のように,$x_1$方向に進む波であるが, その振幅が$x_2$方向に向かって指数関数的に小さくなるような波が 存在できるかどうかについて考えてみよう。 ここでは$x_2$は下向きを正にしてあり,$x_2=0$の水平面は自由表面とする。 この運動に対応した変位成分

$\displaystyle u_1$ $\textstyle =$ $\displaystyle A \exp\left(-b x_2\right) \exp\left\{\mbox{i} k 
\left(x_1-c t\right)\right\},$ (11.56)
$\displaystyle u_2$ $\textstyle =$ $\displaystyle B \exp\left(-b x_2\right) \exp\left\{\mbox{i} k 
\left(x_1-c t\right)\right\}, \quad u_3=0$  

の存在の可能性を検討しようとしている。 ただし,深くなるほど振幅は小さくなるものと考えるため,少なくとも

\begin{displaymath}
\Re(b)>0
\end{displaymath} (11.57)

でなければならない。ここに$\Re(\cdot)$は実数部を表す。

境界条件は$x_2=0$$\sigma_{22}=0$, $\sigma_{21}=0$であるから, ひずみの定義とHookeの法則を用いれば

\begin{displaymath}
\left(\lambda+2\mu\right) u_{2,2}+\lambda u_{1,1}=0, \quad
\mu \left(u_{1,2}+u_{2,1}\right)=0
\end{displaymath} (11.58)

になる。また運動方程式は式(11.15)から

$\displaystyle \left(\lambda+\mu\right) \left(u_{1,1}+u_{2,2}\right)_{,1}
+\mu\left(u_{1,11}+u_{1,22}\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \rho \ddot{u}_1,$  
$\displaystyle \left(\lambda+\mu\right) \left(u_{1,1}+u_{2,2}\right)_{,2}
+\mu\left(u_{2,11}+u_{2,22}\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \rho \ddot{u}_2$ (11.59)

である。式(11.56)を式(11.59)に 代入して $\exp\left\{\mbox{i} k  \left(x_1-c t\right)\right\}$の 係数同士を比べると

\begin{eqnarray*}
&& \left(\lambda+\mu\right) \mbox{i} k 
\left\{\mbox{i} k...
...-b\right)^2\right\} B
=\rho \left(-\mbox{i} k c\right)^2 B
\end{eqnarray*}

が成立しなければならない。したがって

\begin{eqnarray*}
&& \left(\lambda+\mu\right) \left\{-k^2 A-\mbox{i} k b B\...
...^2 B\right\}
+\mu \left(b^2-k^2\right) B+\rho k^2 c^2 B=0
\end{eqnarray*}

つまり

\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{cc}
-k^2 \left(\lambda+\mu\right)+\mu\...
...\right\}=\left\{\begin{array}{c}
0  0 \end{array}\right\}
\end{displaymath} (11.60)

でなければならない。右辺が零なので,解が存在するためには, この式の係数行列が特異でなければならない。つまり

\begin{displaymath}
\det\left\vert\begin{array}{cc}
-k^2 \left(\lambda+2\mu\ri...
...a+2\mu\right)-\mu k^2+\rho k^2 c^2
\end{array}\right\vert=0
\end{displaymath}

$c\subsc{l}$$c\subsc{t}$の定義を用いれば

\begin{displaymath}
\det\left\vert\begin{array}{cc}
-k^2 c\subsc{l}^2+b^2 c\s...
...subsc{l}^2-k^2 c\subsc{t}^2+k^2 c^2
\end{array}\right\vert=0
\end{displaymath}

であればいいことになる。これを整理すると

\begin{displaymath}
\left\{c\subsc{t}^2 b^2-k^2 \left(c\subsc{t}^2-c^2\right)\...
...subsc{l}^2 b^2-k^2 \left(c\subsc{l}^2-c^2\right)\right\}=0
\end{displaymath} (11.61)

を満足するような$c$$b_1$, $b_2$が存在すれば,表面波の存在が可能になる。 この式から,まず

\begin{displaymath}
b_1=k\sqrt{1-\dfrac{c^2}{c\subsc{l}^2}}, \quad
b_2=k\sqrt{1-\dfrac{c^2}{c\subsc{t}^2}}
\end{displaymath} (11.62)

という関係が成立する。 $c\subsc{l}>c\subsc{t}$であり, 式(11.57)のように$\Re(b)>0$でなければならないことから, この式(11.62)の形は

\begin{displaymath}
c<c\subsc{t}<c\subsc{l}
\end{displaymath}

であることを示唆している。 式(11.60)も$c\subsc{l}$, $c\subsc{t}$を用いて書き直すと

\begin{displaymath}
\dfrac{B}{A}=
\dfrac{k^2 \left(c^2-c\subsc{l}^2\right)+b^2\...
...ight)}%
{k^2 \left(c^2-c\subsc{t}^2\right)+b^2 c\subsc{l}^2}
\end{displaymath}

とも書き表すことができるので,これに式(11.62)を代入すると

\begin{displaymath}
\left(\dfrac{B}{A}\right)_1=\dfrac{\mbox{i} b_1}{k}=-\dfrac...
...A}\right)_2=-\dfrac{k}{\mbox{i} b_2}=\dfrac{\mbox{i} k}{b_2}
\end{displaymath}

と求められる。この関係を用いると,変位成分は

$\displaystyle u_1$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left\{A_1 \exp\left(-b_1 x_2\right)+A_2 \exp\left(-b_2 x_2\right)\right\}
 \exp\left\{\mbox{i} k \left(x_1-c t\right)\right\}$ (11.63)
$\displaystyle u_2$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left\{-\dfrac{b_1}{\mbox{i} k} A_1 \exp\left(-b_1 x_2\right)...
...b_2 x_2\right)\right\}
 \exp\left\{\mbox{i} k \left(x_1-c t\right)\right\}$  

と求められる。

あとは波の速さ$c$を決定すればいいわけだが,その方程式は境界条件から 求めることができる。つまり,式(11.63)を 境界条件式(11.58)に代入すれば

\begin{displaymath}
\left(\lambda+2\mu\right) 
\left\{\dfrac{b_1^2}{\mbox{i}\...
...b_1}{\mbox{i} k} A_1+\dfrac{\mbox{i} k}{b_2} A_2\right\}=0
\end{displaymath}

となり,$c\subsc{l}$, $c\subsc{t}$を用いると

\begin{displaymath}
c\subsc{l}^2 \left\{
k \left(1-\dfrac{c^2}{c\subsc{l}^2}\...
...0, \quad
-2 b_1 A_1-\left(b_2+\dfrac{k^2}{b_2}\right) A_2=0
\end{displaymath}

と書き換えられる。これを整理すると

\begin{displaymath}
\left(2 c\subsc{t}^2-c^2\right) A_1+2 c\subsc{t}^2 A_2=0...
...dfrac{k^2}{b_2}\left(2-\dfrac{c^2}{c\subsc{t}^2}\right) A_2=0
\end{displaymath}

と書き表すことができる。つまり

\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{cc}
2-\dfrac{c^2}{c\subsc{t}^2} & 2 b_...
...y}\right\}=
\left\{\begin{array}{c} 0  0 \end{array}\right\}
\end{displaymath}

$A_1$, $A_2$として意味のある解を与えれば,表面波が存在できることになる。 したがって,この上式の係数行列が特異になる条件から

\begin{displaymath}
k^2 \left(2-\dfrac{c^2}{c\subsc{t}^2}\right)^2-4 b_1 b_2=...
...ac{c^2}{c\subsc{l}^2}} 
\sqrt{1-\dfrac{c^2}{c\subsc{t}^2}}=0
\end{displaymath}

つまり

\begin{displaymath}
R(c)\equiv 4 \sqrt{1-\dfrac{c^2}{c\subsc{l}^2}} 
\sqrt{1-...
...}{c\subsc{t}^2}}
-\left(2-\dfrac{c^2}{c\subsc{t}^2}\right)^2=0
\end{displaymath} (11.64)

が成立しなければならない。この式の解$c$がRayleigh波の 速さ$c\subsc{r}$である。ここで $0<\varepsilon\ll 1$に対して

\begin{displaymath}
R(c\subsc{t})=-1<0, \quad
R(\varepsilon c\subsc{t})=
4\sqrt...
...arepsilon^2\left(1-\dfrac{c\subsc{t}^2}{c\subsc{l}^2}\right)>0
\end{displaymath}

であることから, $0<c<c\subsc{t}$に少なくとも一つの 実数解$c\subsc{r}$を持つことが期待できる。 さらに複素関数論における「偏角の原理 11.5」から,$R(c)=0$は2個の実数解しか 持たないことが証明でき,$R(c)$$c^2$の 関数であることから,その2個は符号のみが異なる二つの解であることがわかる。 したがって,Rayleigh波の速さは

\begin{displaymath}
0<c\subsc{r}<c\subsc{t}<c\subsc{l}
\end{displaymath} (11.65)

を満たすものとして唯一に決定できる。 このような表面波は,地震が終わったあとに地球を一周して到達することがあると されている。


11.3.2 Love波

前節のRayleigh波はSV波的な表面波であったが, では,表面SH波は存在するだろうか。式(11.56)と 同様の面外変位を

\begin{displaymath}
u_3=A \exp\left(-b x_2\right) 
\exp\left\{\mbox{i} k \left(x_1-c t\right)\right\}
\end{displaymath}

と設定して確かめてみよう。運動方程式で意味のあるのは$x_3$方向の

\begin{displaymath}
\mu \left(u_{3,11}+u_{3,22}\right)=\rho \ddot{u}_3
\end{displaymath} (11.66)

のみであるから,これに上式を代入して $c\subsc{t}^2=\slfrac{\mu}{\rho}$を 考慮すると, $\exp\left(-b x_2\right) 
\exp\left\{\mbox{i} k \left(x_1-c t\right)\right\}$の係数同士の 等価性から

\begin{displaymath}
-k^2 A +b^2 A =-\dfrac{k^2 c^2}{c\subsc{t}^2} A \quad\to...
...ght\} A=0 \quad\to\quad
b=k\sqrt{1-\dfrac{c^2}{c\subsc{t}^2}}
\end{displaymath} (11.67)

と求められる。また,境界条件は$x_2=0$$\sigma_{23}=0$つまり$u_{3,2}=0$で あるから

\begin{displaymath}
u_{3,2}(x_2=0)=-b A \exp\left\{\mbox{i} k \left(x_1-c t\right)\right\}=0
\end{displaymath}

となり,$A\neq 0$であるためには

\begin{displaymath}
b=0
\end{displaymath}

しかあり得ないことになる。つまり,面外波の表面波は存在しないことになる。

図 11.13: Love波
\begin{figure}\begin{center}
\unitlength=.25mm
\begin{picture}(171,98)(230,-5)...
...
\put(307,80){{\normalsize\rm 自由表面}}
%
\end{picture}\end{center}\end{figure}

しかし,もし図-11.13のように表面近くに 材料特性が異なる層が存在した場合には,面外の表面波が存在し得ることが わかっている。 そのような波をLove波と呼ぶ。そこで,変位を

\begin{displaymath}
u_3=\left\{\begin{array}{ll}
f(x_2) \exp\left\{\mbox{i} k...
... k \left(x_1-c t\right)\right\}, & x_2>0
\end{array}\right.
\end{displaymath} (11.68)

と仮定する。ここに$b$$c$は式(11.67)を満足しているものとする。 境界条件は

\begin{displaymath}
u_{3,2}(x_2=-H)=0
\end{displaymath} (11.69)

であり,$x_2=0$における$u_3$$\sigma_{32}$の 連続条件は, $\displaystyle \lim_{0\le\epsilon\to 0}$に対して

\begin{displaymath}
u_3(0+\epsilon)=u_3(0-\epsilon), \quad
\mu u_{3,2}(0+\epsilon)=\mu_B u_{3,2}(0-\epsilon)
\end{displaymath} (11.70)

で与えられる。運動方程式は式(11.66)を書き直して

\begin{displaymath}
u_{3,11}+u_{3,22}=\dfrac{1}{c\subsc{t}^2} \ddot{u}_3, \quad...
...c{1}{\left(c^B\subsc{t}\right)^2} \ddot{u}_3,
\quad 0>x_2>-H
\end{displaymath} (11.71)

である。 ここに$c^B\subsc{t}$は表層の波速で

\begin{displaymath}
c^B\subsc{t}\equiv\sqrt{\dfrac{\mu_B}{\rho_B}}
\end{displaymath} (11.72)

と定義した。

まず$x_2>0$の運動方程式に式(11.68)の第2式を代入すると, 式(11.67)が求められる。 次に層の中を考えよう。式(11.68)の第1式を式(11.71)に 代入すると

\begin{displaymath}
\left\{-k^2 f(x_2)+f''(x_2)\right\} 
\exp\left\{\mbox{i}\...
...,f(x_2) 
\exp\left\{\mbox{i} k\left(x_1-c t\right)\right\}
\end{displaymath}

となるので,$f(x_2)$

\begin{displaymath}
f''+q_B^2 f=0, \quad
q_B\equiv k\sqrt{\left(\dfrac{c}{c^B\subsc{t}}\right)^2-1}
\end{displaymath} (11.73)

を満足しなければならない。 したがって $f(x_2)=
B_1 \sin\left(q_B x_2\right)+B_2 \cos\left(q_B x_2\right)$と求められ

\begin{displaymath}
u_3=\left\{
B_1 \sin\left(q_B x_2\right)+B_2 \cos\left(q_...
...
\right\} \exp\left\{\mbox{i} k\left(x_1-c t\right)\right\}
\end{displaymath} (11.74)

を得る。 次に$x_2=-H$における境界条件にこの解を代入すると

\begin{displaymath}
u_{3,2}(x_2=-H)=
q_B \left\{B_1 \cos\left(q_B H\right)+B_...
...ight\}
 \exp\left\{\mbox{i} k\left(x_1-c t\right)\right\}=0
\end{displaymath}

から

\begin{displaymath}
B_1 \cos\left(q_B H\right)+B_2 \sin\left(q_B H\right)=0
\end{displaymath} (11.75)

を満足しなければならない。

また$x_2=0$における連続条件は,式(11.70)に 式(11.68)の第2式と式(11.74)を 代入して, $\exp\left\{\mbox{i} k\left(x_1-c t\right)\right\}$の係数同士を 比べれば

\begin{displaymath}
B_2=A, \quad \mu_B q_B B_1=-\mu b A
\end{displaymath} (11.76)

になる。したがって,式(11.75) (11.76)から$A$を 消去した残りの2式を並べると

\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{cc}
\mu_B q_B & \mu b  \cos\left(q_B...
...y}\right\}
=\left\{\begin{array}{c} 0  0 \end{array}\right\}
\end{displaymath}

となるから,意味のある$B_1$, $B_2$が存在する条件が

\begin{displaymath}
\mu b \cos\left(q_B H\right)-\mu_B q_B \sin\left(q_B H...
...\to \quad \tan\left(q_B H\right)-\dfrac{\mu b}{\mu_B q_B}=0
\end{displaymath}

となる。これに式(11.67) (11.73)の$b$$q_B$を 代入して得られる

\begin{displaymath}
L(c)\equiv
\tan\left\{k H \sqrt{\left(\dfrac{c}{c^B\subsc{...
...2}}%
{\mu_B\sqrt{\left(\dfrac{c}{c^B\subsc{t}}\right)^2-1}}=0
\end{displaymath} (11.77)

が,Love波の速さ$c$を決定する方程式になる。 $c\subsc{t}>c^B\subsc{t}$のとき 式(11.77)は

\begin{displaymath}
L(c=c\subsc{t})=
\tan\left\{k H\sqrt{\left(\dfrac{c}{c^B\su...
...t}}\right)^2-1}\right\}>0,\quad
L(c\to c^B\subsc{t}) = -\infty
\end{displaymath}

となるので, $c^B\subsc{t}<c<c\subsc{t}$に一つの解が 存在することが期待できる。

この結果は,いままでの位相速度が持つ特徴とは かなり違っていることに気付いて欲しい。 平面波やRayleigh波の場合には,位相速度$c$は波の 波数$k$あるいは周波数 $\omega\equiv k c$とは独立であった。 しかしLove波の場合は,式(11.77)から 明らかなように,$c$$k$の関数になる。したがって,複数の異なる波数で できたLove波が伝播するときには,波数毎に異なる位相速度で伝わるため, 最初の波の形が崩れながら移動することになる。 このような波は分散的 であると呼ばれる。

図 11.14: 拘束された表面がある半無限領域における平面波と表面波
\begin{figure}\begin{center}
\unitlength=.25mm
\begin{picture}(505,109)(106,-5)
...
...ject  ...

  1. 図-11.14の左に示したように,半無限領域の・・・ 文献[1]の問題から。
  2. 図-11.14の右に示したように,半無限領域の・・・ 文献[1]の問題から。


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Iwakuma Tetsuo
Mon, 18 Feb 2013 12:50:17 +0900 : Stardate [-28]8120.79