J.4 極座標における物理成分

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J.4 極座標における物理成分

注意して欲しいのは，例えば図-J.1の斜交座標のときの基底ベクトル $\fat{g}^i$ が，式(J.9)で示したように単位量ではないこと等である。つまり，基底ベクトルを含むテンソル自体，例えば $\fat{u}=u^i \fat{g}_i$ そのものが物理量であるのは間違い無いが，その成分

は必ずしも物理的な量であるとは限らないことだ。そこで，極座標( $\xi^1=r$ , $\xi^2=\theta$ , $\xi^3=z$ )の場合の各量を文献[24]から引用して列挙してみよう。基底ベクトルが

$\begin{displaymath} \fat{g}_r=\fat{i}_1 \cos\theta+\fat{i}_2 \sin\theta, \quad... ...t{g}_\theta=-\fat{i}_1 r \sin\theta+\fat{i}_2 r \cos\theta \end{displaymath}$

(J.23)

となる。 $\fat{g}_\theta$ は長さの次元を持っていることに注意する。これから計量テンソル成分は

$\begin{displaymath} g_{rr}=1, \quad g_{\theta\theta}=r^2, \quad g^{rr}=1, \quad g^{\theta\theta}=\dfrac{1}{r^2} \end{displaymath}$

(J.24)

$\begin{displaymath} \Gamma_{r\theta\theta}=r, \quad \Gamma_{\theta\theta r}=-r, ... ...ma^r_{\theta\theta}=-r, \quad \Gamma^\theta_{r\theta}=\dfrac1r \end{displaymath}$

(J.25)

と表される。これを用いて応力表示のつり合い式 $\left.\sigma^{ji}\right\vert _j+f^i=0$ を誘導すると次のようになる。

$\begin{manyeqns} &&\D{\sigma^{rr}}{r}+\dfrac{\sigma^{rr}}{r} +\D{\sigma^{r\thet... ...^{rz}}{r}+\D{\sigma^{z\theta}}{\theta} +\D{\sigma^{zz}}{z}+f^z=0 \end{manyeqns}$

(J.26)

ここに

, $f^\theta$ はそれぞれ $\fat{g}_r$ , $\fat{g}_\theta$ 方向の体積力である。ただし，ここの応力テンソルや体積力ベクトルの成分は， $\fat{g}_r$ , $\fat{g}_\theta$ 方向の成分であり，特に後者の基底ベクトルは式(J.23)からも明らかなように長さの次元を有していることから，必ずしも物理的な成分にはなっていないことに注意が必要である。そこで，それを調整した物理的な成分を

$\begin{displaymath} \tau^{rr}\equiv\sigma^{rr}, \quad \tau^{r\theta}\equiv r\si... ...quiv f^r, \quad q^\theta\equiv r f^\theta, \quad q^z\equiv f^z \end{displaymath}$

(J.27)

$\begin{manyeqns} &&\D{\tau^{rr}}{r}+\dfrac1r\D{\tau^{r\theta}}{\theta} +\dfrac{... ...}}{r}+\dfrac1r\D{\tau^{z\theta}}{\theta} +\D{\tau^{zz}}{z}+q^z=0 \end{manyeqns}$

(J.28)

のような，よく知られた物理的な量で表したつり合い式を得ることができる。