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J.2 計量テンソルと置換テンソル

同じ基底同士の内積を計量テンソル と呼び

\begin{displaymath}
g_{ij}\equiv \fat{g}_i\cdot\fat{g}_j, \quad
g^{ij}\equiv \fa...
...{g}^i\cdot\fat{g}_j, \quad
g_i^j\equiv \fat{g}_i\cdot\fat{g}^j
\end{displaymath} (J.13)

等と定義される。これを用いれば,共変成分と反変成分を

\begin{displaymath}
u_i \fat{g}^i = u^j \fat{g}_j \quad\to\quad
u_i \fat{g}^i...
...d
u_i \delta^i_k = u^j  g_{jk} \quad\to\quad
u_k=u^j g_{jk}
\end{displaymath} (J.14)

等のように関係付けること(添え字の入れ替え)ができる。

また, 交代記号$e_{ijk}$(テンソルではない)を

\begin{displaymath}
e_{ijk}=e^{ijk}=\left\{
\begin{array}{ll}
+1 & \mbox{ もし...
...置換である場合} \\
0 & \mbox{ それ以外}
\end{array} \right.
\end{displaymath} (J.15)

と定義すると,例えば$3\times 3$の行列$\mat{C}$

\begin{displaymath}
\Mat{C} \equiv
\left(\begin{array}{ccc}
C^1_1 & C^1_2 & C^1...
...^2_2 & C^2_3 \\
C^3_1 & C^3_2 & C^3_3 \\
\end{array}\right)
\end{displaymath}

の行列式$c$

\begin{displaymath}
c\equiv \det\left\vert C \right\vert=C_1^i C_2^j C_3^k ...
...jk}, \quad
c=\dfrac16   C_l^i C_m^j C_n^k e_{ijk} e^{lmn}
\end{displaymath} (J.16)

と書くことができる。 また二つのベクトル$\fat{u}$, $\fat{v}$の外積 $\fat{w}=\fat{u}\times\fat{v}$

\begin{displaymath}
w^k=u_i v_j e^{ijk}, \quad
w^i=e^{ijk} u_j v_k
\end{displaymath} (J.17)

と成分表示できる。

一方,計量テンソルの行列式を

\begin{displaymath}
g\equiv\det\left\vert g_{ij}\right\vert, \quad
\dfrac1g\equiv\det\left\vert g^{ij}\right\vert
\end{displaymath} (J.18)

と定義しておくと, 置換テンソル $\epsilon_{ijk}$

\begin{displaymath}
\epsilon_{ijk}=\sqrt{g} e_{ijk}, \quad
\epsilon^{ijk}=\dfrac{1}{\sqrt{g}} e^{ijk}
\end{displaymath} (J.19)

と定義される。 これとKroneckerのデルタの間には

\begin{displaymath}
\epsilon^{ijk} \epsilon_{imn}=
\delta^j_m \delta_n^k-\del...
...ilon_{ijn}=2\delta^k_n, \quad
\epsilon^{ijk} \epsilon_{ijk}=6
\end{displaymath} (J.20)

の関係が成り立つ。


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Iwakuma Tetsuo
Mon, 18 Feb 2013 12:50:55 +0900 : Stardate [-28]8120.80