C.2 梁の微小変位理論

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C.2 梁の微小変位理論

C.2.1 変位場

変位場は章-4に示したように，基本的な二つの仮定から式(4.5)となる。つまり

$\begin{displaymath} u_x(x,z)=u(x)-z w'(x), \quad u_y(x,z)=0, \quad u_z(x,z)= w(x) \end{displaymath}$

(C.2)

である。ここにプライムは

に関する微分を表す。これに対して零でないひずみ成分は式(4.6)の $\epsilon_{xx}$ のみで

$\begin{displaymath} \epsilon_{xx}(x,z)=u'(x)-z w''(x) \end{displaymath}$

(C.3)

となる。この2式の関係式の変分量を算定しておくとそれぞれ

$\begin{displaymath} \delta u_x=\delta u- z \delta w', \quad \delta u_z= \delta w \end{displaymath}$

(C.4)

$\begin{displaymath} \delta \epsilon_{xx}=\delta u'-z \delta w'' \end{displaymath}$

(C.5)

C.2.2 仮想仕事式

梁の場合は，章-4でそう定義したように，梁の軸線を

方向にとることにすれば，仮想仕事式の体積積分や面積積分は，長さ $\ell$ の梁に対しては

$\begin{displaymath} \int_V \dint V=\int_0^\ell\dint x\int_A \dint A, \quad \int_S\dint S=\int_A \dint A \end{displaymath}$

と置き直せばいいことは明らかであろう。ただし面積積分の

は梁の断面（

軸を法線方向とする）という意味である。式(C.1)の第3項の表面力も梁の表面には作用させないから，この項は，長さ $\ell$ の梁の両端の断面での積分項のみになっていると考えることにする。

式(C.1)の仮想仕事の原理に前節の変位場を代入すれば，仮定に基づく梁の運動場うんどうばの範囲の中での力学原理を記述できるはずである。式(C.3) (C.4)のように零でないひずみ成分は $\epsilon_{xx}$ 成分のみであるから，まず第1項の内力仮想仕事項は

$\begin{displaymath} \int_V \sigma_{xx} \delta\epsilon_{xx}\dint V = \int_0^\e... ...sigma_{xx} \left(\delta u'-z \delta w''\right)\dint A\dint x \end{displaymath}$

となる。さらに式(4.9) (4.11)で定義した軸力

と曲げモーメント

とを用いると上式は

$\begin{displaymath} =\int_0^\ell \left( N \delta u' - M \delta w''\right)\dint x \end{displaymath}$

と書くことができる。被積分関数の第1項を1回，第2項を2回部分積分をすると

$\begin{displaymath} =\left[N\delta u-M\delta w'+M'\delta w\right] \Bigr\vert _0^\ell -\int_0^\ell \left(N'\delta u+M''\delta w\right)\dint x \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} =n_i\left[N \delta u+M \delta (-w')+M' \delta w\right] \B... ...} -\int_0^\ell \left(N' \delta u+M'' \delta w\right)\dint x \end{displaymath}$

(C.6)

次に仮想仕事式の第2項の体積力による仮想仕事項も，式(C.4)の変位成分の変分の関係を代入すると

$\begin{displaymath} \int_V\left(X_x\delta u_x+X_z\delta u_z\right)\dint V= \int... ...a w'\right)\dint A+ \int_A X_z\delta w\dint A \right]\dint x \end{displaymath}$

$\begin{twoeqns} \EQab p\equiv\int_A X_x\dint A,\quad \EQab q\equiv\int_A X_z\dint A,\quad \EQab m\equiv\int_A z X_x\dint A \end{twoeqns}$

$\begin{displaymath} = \int_o^\ell\left[ p \delta u-m \delta w'+q \delta w\right]\dint x \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} =n_i\left[-m \delta w\right] \Bigr\vert _{x=0,\ell} +\in... ... \left\{p \delta u+\left(m'+q\right) \delta w\right\}\dint x \end{displaymath}$

(C.8)

となる。式(C.7a) (C.7b)はそれぞれ

方向の梁の単位長さ当たりの分布外力である。式(C.7c)はその定義からも明らかなように，梁の単位長さ当たりに分布する曲げ外力モーメントである。これは通常無視されることが多い。

最後に仮想仕事式の第3項は上記のように梁の両端での面積分のみであるから

$\begin{displaymath} \int_A\left(F_x \delta u_x+F_z \delta u_z\right)\dint A\Bigr\vert _{x=0,\ell} \end{displaymath}$

となる。したがって第2項の体積力についての演算と同様，式(C.4)を代入し，端外力を

$\begin{displaymath} F\equiv\int_A F_x\dint A,\quad S\equiv\int_A F_z\dint A,\quad C\equiv\int_A z F_x\dint A \end{displaymath}$

(C.9)

$\begin{displaymath} \left[ F \delta u +C \delta (-w') + S \delta w \right] \Bigr\vert _{x=0,\ell} \end{displaymath}$

(C.10)

と書くことができる。もちろん

はそれぞれ外力としての軸力・せん断力および外力モーメントである。

以上の各項(C.6) (C.8) (C.10)をすべて結合すると，梁の仮想仕事式 は

		$\displaystyle \left[\left(n_i N-F\right) \delta u+ \left\{n_i \left(M'+m\r... ...} \delta w+ \left(n_i M-C\right) \delta (-w') \right]\Bigr\vert _{x=0,\ell}$
		$\displaystyle \mbox{}\qquad -\int_0^\ell \left[ \left(N'+p\right) \delta u+\left\{M''+m'+q\right\} \delta w \right]\dint x=0$	(C.11)

C.2.3 支配方程式

式(C.11)の仮想仕事式は任意の仮想変位 $\delta u$ , $\delta w$ に対して常に満足されなければいけないから，変分問題のEuler方程式として梁の支配方程式が誘導できる。すなわち，まず式(C.11)の2行目の被積分関数から局所的なつり合い式が

$\begin{displaymath} N'+p=0, \quad M''+m'+q=0 \end{displaymath}$

(C.12)

でないといけないことがわかる。もし

を無視すれば，この式はそれぞれ式(4.19) (4.20)に一致している。また境界条件については，仮想仕事式(C.11)の1行目にある両端での項から

$\begin{manyeqns} u=\mbox{与えられる}\quad&\mbox{あるいは}&\quad n_i N=F \\ w=\... ...)=S \\ -w'=\mbox{与えられる}\quad&\mbox{あるいは}&\quad n_i M=C \end{manyeqns}$

(C.13)

となることがわかる。これも式(4.23)に一致する。このように，仮定された運動場の元で誘導される梁理論にはせん断力が含まれていない。結局梁理論におけるせん断力は曲げモーメントの勾配として定義される副次的なものであることがわかる。